Assiòma ëd Peano

J'assiòma ëd Peano për l'aritmética a son:

• 0 a l'é 'n nùmer (natural)
• 0 a l'é ël sucessor ëd gnun nùmer
• Minca nùmer a l'ha 'n sucessor
• Doi nùmer ch'a l'abio ël midem sucessor a son ugoaj
• (Prinsipi d'andussion) Se n'ansem ëd nùmer a conten 0 e minca vira ch'a conten un nùmer a conten ëdcò sò sucessor, antlora s'ansem a conten tuti ij nùmer.

Costa assiomatisassion dël concet ëd nùmer natural a l'é stàita trovà an manera indipendenta da Dedekind dël 1888 e da Peano, ch'a l'ha smonuje ant ël tratà Arithmetices principia, nova methodo exposita dël 1889; a treuvo soa formulassion definitìva ant l'Aritmetica dël 1898.
Parèj, l'anàlisi ëd Dedekind e Peano a arpòrta l'aritmética a tre nossion primitive: nùmer, zero, sucessor, e sinch postulà, ch'a l'han peuj dije assiòma ëd Peano.
An vrità, sia Dedekind che Peano a ancaminavo a conté da 1, nopà che da 0.

Costi prinsipi a përmëtto ëd determiné la strutura dij nùmer naturaj ëd fasson unìvoca, a men d'isomorfism (ch'as armarca che l'andussion a l'é esprimùa al second órdin).
Dël 1902, Alessandro Padoa a l'ha armarcà che, an fortend ël second assiòma 'me a-i é un nùmer che a l'é sucessor ëd gnun nùmer, as peul mostresse che cost nùmer a l'é ùnich, donca as peul definisse 0 'me col nùmer-lì. An sa manera, le nossion primitive a resto mach pì doe, nùmer e sucessor, e j'assiòma quatr, përchè ël prim as peul gavesse; l'andussion as peul arformolesse an parland pà ëd 0, ma ëd col nùmer ch'a l'é sucessor ëd gnun nùmer.
Dël 1908, Mario Pieri a l'ha mostrà che l'assiòma d'andussion a peul esse rampiassà dal prinsipi dël mìnim: minca ansem nen veuid ëd nùmer a l'ha un mìnim.

Al di d'ancheuj as preferiss arformolé j'assiòma ant un lengage dël prim órdin; l'andussion a dventa në schema d'assiòma. La teorìa ch'a-i na ven a la diso aritmética ëd Peano. Tutun, costa formolassion-sì a l'é pà categòrica: a-i son dë struture ch'a sodisfo j'assiòma sensa esse isomòrfe antra 'd lor.