Camp (matemàtica)

	Artìcol prinsipal an lenga piemontèisa
	Version an parlà locaj: Astësan Bielèis Canavzan Langhèt Lissandrin Monfrin Noarèis Seban Valsesian Valsusin
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì

An matemàtica, un camp a l'é na strutura algébrica. Pì ëd precis, a l'é n'ansem anté ch'as peulo fesse d'adission, sotrassion, multiplicassion e division (për bon-a part dj'element). Ij camp pì clàssich a son ël camp dij nùmer rassionaj (denotà $\mathbb{Q}$), ël camp dij nùmer reaj (denotà $\mathbb{R}$), ël camp dij nùmer compless (denotà $\mathbb{C}$) e ël camp $\mathbb{F}_p$ dle class ëd resta mòdul p anté che p a l'é un nùmer prim. La teorìa dij camp a l'é ciamà da cheidun teorìa ëd Galois; tutun, la teorìa ëd Galois a l'é bin ël métod dë studi ch'as àplica an particolar ai camp, lòn ch'a na forma l'esempi stòrich, ma a së spantia ëdcò a motobin d'àutri setor, dont lë studi dj'equassion diferensiaj (teorìa ëd Galois diferensial), o dj'arvestiment. Definission e esempi Definission Un camp a l'é n'ansem K dotà ëd doe operassion, denotà soens + e ×, ch'a sodisfo le proprietà sì-da press: (K, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0; (K - {0}, ×) a forma un grop comutativ (cheidun ant la definission ëd camp a ciama nen che la multiplicassion a sia comutativa; d'àutri, ant ës cas-sì, a parlo ëd còrp); la multiplicassion a l'é distributiva rëspet a l'adission, visadì $\forall (a,b,c) \in K^3, \quad a\times (b + c) = a \times b + a \times c;$ As parla antlora dël camp (K, +, ×). Ij prim camp ëstudià a son ëstàit j'ansem ëd nùmer (rassionaj, réaj, compless, algébrich). Esempi ëd camp L'ansem dij nùmer rassionnaj, $(\mathbb Q, + ,\times)$ a l'é un camp. L'ansem dij nùmer reaj $(\mathbb R, + ,\times)$ a l'é un camp. L'ansem dij nùmer compless $(\mathbb C, + ,\times)$ a l'é un camp. An aritmética modular, l'ansema $(\mathbb Z/p\mathbb Z, + ,\times)$ anté che p a l'é un nùmer prim a l'é un camp. L'ansem ëd tute le fonsion rassionaj reaj a l'é 'n camp, rëspet a j'operassion d'adission e multiplicassion ëd fonsion. Un sot-camp d'un camp K a l'é 'n sot-ansem nen veuid L ëd K, stàbil rëspet a + e $\times$, tal che L con j'operassion ardità da K a sia ancor un camp. Caraterìstica S'a-i é n'antregh natural n>0 tal che $1 + 1 + \cdots + 1$ (con n termo) a l'é zero, as dis che la caraterìstica dël camp ël pì cit antegr nen nul ch'a l'ha costa proprietà. S'a-i na i-é gnun, as dis che ël camp a l'é ëd caraterìstica zero (o infinìa). Ël camp $\R$ a l'ha caraterìstica zero, mentre che ël camp $(\mathbb Z/p\mathbb Z)$ a l'é ëd caraterìstica p. As dimostra ch'un camp a l'ha tavòta caraterìstica 0 opura un nùmer prim. Camp finì Costi a son ij camp dont ël nùmer dj'element a l'é finì. Lë studi dij camp finì a l'é rivà tard ant lë studi dij camp. As dimostra che un ant un còrp finì la multiplicassion a l'é tavòta comutativa, e che soa cardinalità a l'é un nùmer prim. Camp e anel L'ansema $(\mathbb Z, +, \times)$ a l'é pà un camp përchè la pì part dj'element ëd $\mathbb Z^*$ a son nen anvertìbij: për esempi, a-i é gnun antegr relativ n tal che 2n = 1, donca 2 a l'é nen anvertìbil. Pì an general, n'ansem A dotà ëd doe operassion + e × taj che: (A, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0; (A-{0}, ×) a forma un monòid; la multiplicassion a l'é distributiva për l'adission (a snistra tanme a drita); a l'é n'anel unitari. Se l'anel a l'é 'n domini d'antegrità, visadì a l'é comutativ e $\forall (a,b) \in A^2, \quad ab=0 \Rightarrow a=0 \hbox{ opura } b=0$, l'anel a l'é scasi un camp përchè a-j manca mach pì l'anvertibilità për la multiplicassion. As a dimostra antlora che as a peul mojé l'anel an sò camp dle frassion, che a l'é ël pì cit camp ch'a conten l'anel. Esempi : $\mathbb Q$ a l'é ël camp dle frassion ëd $\mathbb Z$. Camp e spassi vetoriaj An ancaminand con ël camp $\R$, a l'é natural d'anteressesse a $\R^n$, l'ansem dj'n-uple ëd reaj. As peulo definisse ëd fasson natural n'adission e na multiplicassion për un real. La strutura definìa parèj (n'adission anterna ch'a dà a l'ansem na strutura ëd grop comutativ e na multiplicassion esterna ch'a l'ha dle proprietà ëd distributività e d'assossiatività) a l'é ciamà spassi vetorial ansima a $\R$. A ven antlora natural defini lòn ch'a l'é në spassi vetorial ansima a un camp K qualsëssìa. Camp e equassion algébriche Lë studi dij polinòmi a coefissient ant un camp e l'arserca ëd soe rèis a l'ha motobin dësvlupà la nossion ëd camp. Si f a l'é un polinòmi ëd gré n ansima a un camp K, l'equassion f(x) = 0 a l'é n'equassion algébrica an K. Se, an dzorpì, f a l'é un polinòmi ireduvìbil, l'equassion as dis ireduvìbil. Cand n a l'é ugual o pì grand che doi, trové le solussion ëd n'equassion parèj a ciama ëd butesse ant un camp pì grand che K, visadì n'estension ëd camp. Për esempi, l'equassion $x^2-2 = 0$ a l'é ireduvìbil an $\mathbb Q$ ma a l'ha 'd rèis an $\mathbb R$ o, con pì precision, an $\mathbb Q[\sqrt 2]$. L'equassion $x^2+1 = 0$ a l'ha nen ëd solussion an $\mathbb R$ ma a 'n n'ha an $\mathbb C$ o, con pì precision, an $\mathbb Q[i]$. Ël camp dë s-cianch d'un polinòmi a l'é un camp minimal ch'a conten K e na rèis d'f. Ël camp ëd dëscomposission ëd f a l'é ël pì cit camp ch'a conten K parèj che tute le rèis d'f. Lë studi dij camp ëd dëscomposission d'un polinòmi e dël grop ëd përmutassion ëd soe rèis a forma la branca dla matemàtica ch'as ciama la teorìa ëd Galois. Camp ordinà Un camp ordinà a l'é un camp K dotà ëd na relassion d'órdin $\leq$ ch'a sodisfa le condission: $\forall x,y,z \in K,x \leq y \Rightarrow x+z \leq y+z$, $\forall x,y,z \in K,z \geq 0 \wedge x \leq y \Rightarrow zx \leq zy$. Da sòn a-i ven ëdcò che $z>0 \wedge x<y \Rightarrow zx<zy$. An dzorpì, për minca element x, un a l'ha $x^2 \geq 0$. An efet, $0^2=0 \geq 0$ e $x^2 \geq x0=0$ cand x>0; si nopà x<0, antlora 0<-x e donca da x<0 un a oten $-x^2<-x0=0$, dont $0<x^2$. 'Me conseguensa, $0<1^2=1$ e, si x>0, ëdcò x+1>0 dagià che 0<1<x+1. Për tut camp ordinà K a-i é, e a l'é ùnica, n'iniession $\rho : \mathbb Q \to K$ ch'a rispeta la strutura, visadì: $\rho (0)=0, \rho (1)=1$, $\rho (x+y)= \rho (x)+ \rho (y), \rho (xy)= \rho (x) \rho (y)$, $x \leq y \Leftrightarrow\rho (x) \leq\rho (y)$. L'órdin ëd tut camp ordinà a l'é satì e a l'ha ni element mìnim, ni màssim. Esempi Ël camp ëd le fonsion rassionaj reaj a l'é ordinà da la relassion $f \leq g \Leftrightarrow\exists x, \forall y \geq x,f(y) \leq g(y)$. As trata d'un camp nen archimedien. Àutre branche dë studi As artreuva la teorìa dij camp ant lë studi ëd chèiche fonsion tanme le fonsion rassionaj o le fonsion elìtiche. Stòria Fin-a al sécol ch'a fa XIX, j'ansem ëd nùmer a smijavo tant naturaj che gnun a l'era preocupasse ëd dèje un nòm, e gnanca ëd defini con precision soa strutura. Tutun, con lë s-ciòde dlë studi dij nùmer algébrich, a son ëspontà ansem ëd nùmer diferent daj rassionaj, ij reaj e ij compless. A l'é vnuje da manca ëd precisè la strutura ëd camp, peuj la nossion d'antegr ansima a's camp e, për finì, la nossion d'anel. Coste nossion a son euvra dla scòla alman-a. A l'é sàit Richard Dedekind che a l'ha definì për la prima vira la strutura ëd camp (Körper an alman) e costa a l'é la rason për che soens ij camp a son denotà K. La strutura ëd camp a rintra an na gerarchìa ch'a comprend ij monòid, ij grop, j'anej, ij còrp e a l'é a l'adoss dla definission dë spassi vetorial, e d'àlgebra.

OMMI! Ma io non SO LEGGERE!! E be'? :) È facile leggere una lingua che si parla già. Consulti questa pagina e vedrà, in un attimo anche Lei avrà il suo badge da bogianen :) St'utent-sì a l'é un bogianen OMMI! pero si YO no SE LEER! ¿Y que? :) Es fácil aprender a leer un idioma que ya se habla. Consulte usted esta pagina y verá, en un momento tendrá usted su Badge de Bogianen :) Reading piedmontese: please visit this page 50 247 artìcoj scrivù e na media ëd pàgine lesùe davzin a 1.750.000 pàgine l'ann! 'cò ti it peule travajé a fé pì granda e bela la wikipedia piemontèisa. Tùit a peulo gionté dj'anformassion, deurbe dij neuv argoment, deje na man ai volontari ch'a travajo ambelessì 'ndrinta. Rintra ant la Piòla e les coma avnì a fé toa part. I soma na gran famija e i l'oma da manca dël travaj ëd tuti. Se it la sente nen dë scrive n'artìcol, a-i son vàire travajòt da fé andova a fa pa da manca d'esse na cima a scrive për podej giuté. Mersì. BANCHÈT dj'UTISS Për dì la soa ansima a sta pàgina-sì ch'a-i daga 'n colp col rat an sël tilèt discussion. Për lasseje un messagi a j'aministrator ch'a varda ambelessì. Lìber për chi a veul amprende a lese e a scrive mej an piemontèis, e che an fan d'arferiment a tùit për la coression ortogràfica dij test. Për ёscrive dësgagià, ch'a dòvra la Tastadura piemontèisa! E ch'a manca pa 'd vardesse la pàgina d'agiut për chi as anandia da zero.