Criteri ëd d'Alembert

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ch'as consìdera na sequensa  (u_n) ëd nùmer reaj positiv.
Ël criteri ëd d'Alembert (o criteri dël rapòrt) a fortiss che s'a esist un nùmer λ<1 tal che a parte d'un chèich ìndes a val la relassion  \frac{u_{n+1}}{u_n} <\lambda , la serie  \sum u_n a convergg; si, a ancaminé da 'n chèich ìndes,  \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1, antlora la serie a divergg.
An particolar, si  \lim_{n\rightarrow\infty } \frac{u_{n+1}}{u_n} <1, antlora i l'oma convergensa; si  \lim_{n\rightarrow\infty } \frac{u_{n+1}}{u_n} >1 i l'oma divergensa.

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Butoma che  \forall n \geq m, \frac{u_{n+1}}{u_n} <\lambda <1; sòn a veul dì che u_{n+1}<\lambda u_n e donca che  \forall h,u_{m+h}<\lambda^hu_m. Dagià che la serie geométrica ëd rason λ<1 a convergg, për ël criteri dël confront ëdcò la serie  \sum_{n=0}^{\infty }u_n a convergg.
Noté che ant ës cas-sì la soma dla serie a l'é limità da 'dzora da  \sum_{n=0}^{m-1}u_n+ \frac{u_m}{1-\lambda }.

D'àutra part, si  \forall n\geq m, \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1, antlora a ancaminé da l'ìndes m la sequensa u_n a l'é nen dechërsenta e donca nen infinitésima. Parèj, la serie a divergg.