Determinatëssa

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


La determinatëssa a l'é un soget dë studi ant la teorìa descritiva dj'ansem.

Për minca sot-ansem A d' \mathbb N^{ \mathbb N } as costruiss un gieugh  G_A giugà da doi giugador I e II parèj: a l'ancamin I a gieuga un nùmer natural  a_0 ; apress II a rëspond an giugand un nùmer natural  b_0 ; peuj I a sern un nùmer natural  a_1 ; ël giugador II a sern  b_1 e via fòrt. Ël gieugh a chita apress ω mòsse. Si la sequensa  (a_0,b_0,a_1,b_1, \ldots ) a l'é an A, antlora I a vagna; dësnò a l'é II a vagné.

Le definission[modìfica | modifiché la sorgiss]

Pijà  A \subseteq \mathbb N^{ \mathbb N } , ch'as consìdera ël gieugh corëspondent  G_A .

Na partìa a l'é qualsëssìa sequensa  (a_0,b_0,a_1,b_1, \ldots ) \in \mathbb N^{ \mathbb N } . Për minca  n \in \mathbb N^{ \mathbb N } ,  a_n a l'é la mòssa nùmer n dël giugador I e  b_n a l'é la mòssa nùmer n dël giugador II.

Stategìe e strategìe ch'a vagno[modìfica | modifiché la sorgiss]

Na strategìa (për I o për II) a l'é na régola ch'a dis al giugador che mòssa fé, an dipendensa dle mòsse già giugà da tuti doi. Na strategìa a l'é na strategia ch'a vagna s'ël giugador corëspondent, an andasendje dapress, a vagna sempe.

Donca, na strategìa për I a l'é na fonsion σ dont ël domini a l'é l'ansem dle sequense ëd nùmer naturaj ëd longheur cobia e ij valor a son dij nùmer naturaj. Ël giugador I a gieuga  (a_0,b_0,a_1,b_1, \ldots ) conforma a la strategìa σ si  a_0= \sigma ( \emptyset ),a_1= \sigma (a_0,b_0),a_2= \sigma (a_0,b_0,a_1,b_1) e via fòrt. Parèj, si I a gieuga conforma a σ, antlora la partìa a l'é determinà da σ e da la sequensa  b=(b_0,b_1, \ldots ) dle mòsse ëd l'àutr. Sa partìa as denòta  \sigma *b .
Na strategìa σ për ël giugador I a l'é na strategìa ch'a vagna si  \{ \sigma *b \mid b \in \mathbb N^{ \mathbb N } \} \subseteq A , visadì cand tute le partìe che I a gieuga conforma a σ a son an A.

Ant l'istessa manera, na strategìa për II a l'é na fonsion τ dont ël domini a l'é l'ansem dle sequense ëd naturaj ëd longheur dëscobia e ij valor a son ëd nùmer naturaj.
Assignà  a \in \mathbb N^{ \mathbb N } e na strategìa τ për II, con  a* \tau as denòta la partìa anté che I a gieuga a e II a rëspond conforma a τ. Na strategìa τ për II a l'é na strategìa ch'a vagna si  \{ a* \tau \mid a \in \mathbb N^{ \mathbb N } \} \subseteq \mathbb N^{ \mathbb N } \setminus A .

Ëd tansantan as consìdero ëdcò dij gieugh  G_A anté che le mòsse a son nen ëd nùmer naturaj ma element ëd chèich ansem S. Na partìa a l'é antlora na sequensa  p \in S^{ \mathbb N } e l'arzultà dla partìa a dipend se  p \in A o  p \notin A (ambelessì A l'é un sot-ansem d' S^{ \mathbb N } ).

L'assiòma ëd determinatëssa[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ël gieugh  G_A as dis determinà si un dij doi giugador a l'ha na strategìa ch'a vagna.
Un dj'arzultà pi amportant ant la teorìa descritiva dj'ansem a l'é la dimostrassion ëd Martin che G_A a l'é determinà për minca sot-ansem borelian d' \mathbb N^{ \mathbb N }. Ës teorema a l'é dël 1975; dël 1985, Martin a l'ha publicà na dimostrassion simplificà.

L'assiòma ëd determinatëssa (AD, proponù da Mycielski e Steinhaus dël 1962) a fortiss che për qualsëssìa  A \subseteq \mathbb N^{ \mathbb N } ël gieugh  G_A a l'é determinà. Cost assiòma as peul limitesse a dle famije particolar d'ansem. Për esempi, l'assiòma ëd determinatëssa projetiva (PD, projective determinacy) a l'é l'assiòma ch'a fortiss che G_A a l'é determinà për minca ansem projetiv.

An dij travaj dal 1963 al 1966, Mycielski a l'ha smonù na tratassion aprofondìa dle conseguense dl'assiòma ëd determinatëssa e ëd problema duvert lià.

Dagià che la quantità dë strategìe a l'é  2^{ \aleph_0} , un rasonament diagonal a fa vëdde che l'assiòma ëd determinatëssa a l'é incompatìbil con l'assiòma ëd selession:

Teorema. Sota l'assiòma ëd selession, a-i é  X \subseteq \mathbb N^{ \mathbb N } , tal che ël gieugh  G_X a l'é nen determinà.
Cost teorema a l'é stàit dimostrà da Gale e Stewart dël 1953.

Dimostrassion. Pijoma d'enumerassion  \{ \sigma_{ \alpha } \mid \alpha <2^{ \aleph_0} \} , \{ \tau_{\alpha } \mid \alpha <2^{ \aleph_0} \} ëd tute le strategìe për I e për II. Për andussion, as costruisso doi ansem  X= \{ x_{ \alpha } \mid \alpha <2^{ \aleph_0} \} ,Y= \{ y_{ \alpha } \mid \alpha <2^{ \aleph_0} \} : dàit  x_{ \xi },y_{ \xi } për minca  \xi < \alpha , pijé  y_{ \alpha } ëd fasson che  y_{ \alpha }= \sigma_{ \alpha }*b për chèich b e  y_{ \alpha } \notin \{ x_{ \xi } \mid \xi < \alpha \} ; ant l'istessa manera, serne  x_{ \alpha } con  x_{ \alpha }=a* \tau_{ \alpha } për chèich a e  x_{ \alpha } \notin \{ y_{ \xi } \mid \xi \leq \alpha \} .
J'ansem X e Y a son disgionzù, për minca α a-i é b tal che  \sigma_{ \alpha }*b \notin X e a-i é a tal che  a* \tau_{ \alpha } \in X . Donca nì III a l'han na strategìa ch'a vagna ant ël gieugh  G_X e parèj  G_X a l'é nen determinà.

D'àutra part, l'assiòma ëd determinatëssa a ìmplica na forma débola dl'assiòma ëd selession:

Teorema. L'assiòma ëd determinatëssa a ìmplica che minca famija numeràbil d'ansem nen veuid ëd nùmer reaj a l'ha na fonsion ëd selession.

Dimostrassion. Pijoma na famija  \{ X_n \mid n \in \mathbb N \} ëd sot-ansem nen veuid d' \mathbb N^{ \mathbb N } për trovene na fonsion f ëd selession. Consideroma ël gieugh sì-dapress: si I a gieuga (a_0,a_1,a_2, \ldots ) e II a gieuga b=(b_0,b_1,b_2, \ldots ), II a vagna si e mach si b \in X_{a_0}. Ël giugador I a peul nen avèj na strategìa ch'a vagna, dagià che si chiel-sì a ancamin-a an giugand a_0, II a peul vagné an pijand qualsëssìa b=(b_0,b_1,b_2, \ldots ) \in X_{a_0} e an giugand ij sò element un a la vira. Donca, për l'ipòtesi ëd determinatëssa, a l'é II ch'a l'ha na strategìa ch'a vagna τ e as peul definì la fonsion ëd selession f parèj: f(X_n)= \tau *(n,0,0,0, \ldots ).