Fórmola d'Eron

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


La fórmola d'Eron a serv për la determinassion ëd l'àrea d'un triàngol.
Costa fórmola a l'era già conossùa da Archimede, ch'a l'é belfé ch'a l'èissa dimostrala, ma la prima documentassion pr'ëscrit ch'i n'oma a l'é da n'euvra d'Eron, Métrica.

Consìderoma un triàngol ABC e ciamoma a, b e c le bande opòste ai vértes A, B e C, rispetivaman. Ciamoma ëdcò α l'àngol an A. Denotoma con h l'autëssa relativa a la banda c. Si S a l'é la surfassa dël triàngol, i l'oma

S= \frac 12 ch= \frac 12 cb \sin\alpha =
= \frac 12 cb \sqrt{1- \cos^2 \alpha } =
= \frac 12 cb \sqrt{(1- \cos\alpha )(1+ \cos\alpha )} .

An rampiassand cosα con ël valor ësmonù dal teorema dël cosen, visadì

 \cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} ,

i otnoma

S= \frac 12 bc \sqrt{(1- \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} )(1+ \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} )} =
= \frac 12 bc \sqrt{ \frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc} \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc} } =
= \frac 14 \sqrt{(a^2-(b-c)^2)((b+c)^2-a^2)} =
= \frac 14 \sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}.

Si adess i andicoma con 2p ël perìmeter dël triàngol, visadì a+b+c=2p, i l'oma j'ugualianse

a+b-c=2(p-c),
a-b+c=2(p-b) e
b+c-a=2(p-a).

Rampiassand costi valor ant la fórmola otnùa sì-dzora, i trovoma la fórmola d'Eron sërcà:

S= \frac 14 \sqrt{2(p-c)2(p-b)2(p-a)2p} =
= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} .