Fórmole ëd Taylor

	Artìcol prinsipal an lenga piemontèisa
	Version an parlà locaj: Astësan Bielèis Canavzan Langhèt Lissandrin Monfrin Noarèis Seban Valsesian Valsusin
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì

La fórmola ëd Taylor a compariss dël 1715 an Methodus incrementorum directa et inversa, ëd Brook Taylor. Soa amportansa a l'é restà dësconossùa fin-a al 1772, cand Joseph-Louis Lagrange a l'ha dila ël fondament prinsipal dël càlcol diferensial. Cand ël pont d'achit a l'é l'orìgin, la fórmola a la diso fórmola ëd Maclaurin. Fórmola ëd Taylor con resta ëd Peano Ch'as consìdera na fonsion f derivàbil n vire ant ël pont $x_0$. Antlora a val la fórmola ëd Taylor con resta ëd Peano, con pont d'achit $x_0$: $f(x)= \sum_{k=0}^n \frac 1{k!} f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$. L'adend $o((x-x_0)^n)$ a l'é la resta d'órdin n ant la forma ëd Peano. Notoma che cost adend a l'é dla forma $R_n(x-x_0)$, anté che $R_n(h)= \frac{h^n}{n!} \omega (h)$, con $\lim_{h \rightarrow 0} \omega (h)= \omega (0)=0$. Esempi Ël dësvlup ëd la fonsion esponensial ant l'orìgin con resta ëd Peano a l'é $e^x= \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} +o(x^n)$. Dimostrassion Për dimostré costa fórmola, a basta fé vëdde che $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-[f(x_0)+hf'(x_0)+ \ldots + \frac{h^n}{n!} f^{(n)}(x_0)]}{h^n} =0$, visadì $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)- \ldots - \frac{h^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n-1)}(x_0)}{h^n}= \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$. Sòn as peul oten-e an aplicand n-1 vire ël teorema ëd l'Hôpital. Fórmola ëd Taylor con resta ëd Lagrange Ch'as consìdera na fonsion f real definìa ansima a n'antërval duvert J ch'a conten ël pont $x_0$. Si f a l'é derivàbil n vire ëd fasson continua ansima a s'anterval, e la derivà d'órdin n+1 a esist an tut J gavà miraco ël pont $x_0$, antlora për minca $x \in J$ a-i é un nùmer $c_x$ ch'as treuva antrames tra $x_0$ e x con la proprietà che la diferensa an tra 'l valor dla fonsion e col dël polinòmi ëd Taylor d'órdin n a l'é $f(x)-p_n(x)= \frac {f^{(n+1)}(c_x)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$. Costa diferensa $R_n(x)= \frac {f^{(n+1)}(c_x)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$ as ciama resta ëd Lagrange. Esempi La fonsion esponensial, dësvlupà ant l'orìgin an dovrand la fórmola ëd Taylor con resta ëd Lagrange, a smon: $e^x= \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}+ \frac{e^{x_0}}{(n+1)!} x^{n+1}$, për chèich $x_0$ antra 0 e $x_0$. Dimostrassion Për ancaminé, ch'as consìdera h>0. An butand $q(h)= \frac{R_n(h)}{h^{n+1}}$ i l'oma $f(x_0+h)-f(x_0)-hf'(x_0)- \ldots - \frac{h^n}{n!} f^{(n)}(x_0)-h^{n+1}q(h)=0$. Consideroma adess la fonsion $\varphi :[x_0,x_0+h] \rightarrow \mathbb R$ definìa da $\varphi (x)=f(x_0+h)-f(x)- \frac{x_0+h-x}{1!} f'(x)-$ $- \ldots - \frac{(x_0+h-x)^n}{n!} -(x_0+h-x)^{n+1}q(h)$. Dagià che f a l'ha derivà continue findi a l'órdin n ant l'antërval duvert J, a-i na ven che $\varphi$ a l'é continua ant l'antërval sarà $[x_0,x_0+h]$. An dzorpì, $\varphi$ a val 0 a j'estrem ëd cost antërval e a l'é derivàbil an minca pont ëd l'antërval $(x_0,x_0+h]$, con derivà $\varphi'(x)=- \frac{(x_0+h-x)^{n}}{n!} f^{(n+1)}(x)+(n+1)(x_0+h-x)^nq(h)$. Donca a l'é possìbil apliché a $\varphi$ ël teorema ëd Rolle, ch'an dis ch'a-i é almanch un pont $c_x \in (x_0,x_0+h)$ anté che $\varphi'(c_x)=0$, visadì $q(h)= \frac 1{(n+1)!} f^{(n+1)}(c_x)$, lòn ch'an basta a conclude. Për h<0 as fa ël midem rasonament. N'aplicassion Butoma ël cas, adess, che an dzorpì dj'ipòtesi già considerà, i l'oma ëdcò che $f^{(n+1)}$ a l'é limità an $J- \{ x_0 \}$, visadì ch'a-i sia n'M>0 tal che $|f^{(n+1)}(x)| \leq M$ për minca x. Antlora, la resta a sodisfa la limitassion $|R_n(h)| \leq \frac{|h|^{n+1}}{(n+1)!} M$ për minca h tal che $x_0+h \in J$. Sòn an përmet dë stimé l'eror ch'as fà an rampiassand $f(x_0+h)$ con ël polinòmi ëd Taylor d'órdin n con pont d'achit $x_0$. Fórmola ëd Taylor për fonsion ëd doe variàbij La fórmola ëd Taylor as peul adatesse a na fonsion ëd pì che un-a variàbil real. Ch'a consìdera, për esempi, na fonsion $f:E \subseteq \mathbb R^2 \to \mathbb R$. Ch'as pijo doi pont $(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)$ ch'a l'abio tut ël segment an tra 'd lor ant l'anterior d'E. Si an E a-i son e a son contìnoe le derivà parsiaj d'f fin-a a l'órdin $n+1$, antlora: $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+$ $+ \sum_{j=1}^n \frac 1{j!} (h \frac{ \partial }{ \partial x} +k \frac{ \partial }{ \partial y} )^jf(x_0,y_0)+ \frac 1{(n+1)!} (h \frac{ \partial }{ \partial x} +k \frac{ \partial }{ \partial y} )^{n+1}f( \xi , \eta )$, anté che $( \xi , \eta )$ a l'é 'n pont convenient ant l'anterior dël segment. Dimostrassion Ij pont dël segment a l'han coordinà $\left \{ \begin{matrix} x & = & x_0+ht \\ y & = & y_0+kt \end{matrix} \right . ,$ për $t \in [0,1]$. Se un a considera la fonsion componùa $F(t)=f(x_0+ht,y_0+kt)$, për la fórmola ëd Maclaurin për le fonsion con mach na variàbil aplicà ant l'antërval [0,1], a-i é $\theta\in ]0,1[$ tal che $F(1)=F(0)+F'(0)+ \ldots + \frac 1{n!} F^{(n)}(0)+ \frac 1{(n+1)!} F^{(n+1)}( \theta )$ e da sòn a-i ven l'arzultà an butand $\xi =x_0+h \theta , \eta =y_0+k \theta$. Ël darié tèrmin $\frac 1{(n+1)!} F^{(n+1)}( \theta )= \frac 1{(n+1)!} \sum_{r=0}^{n+1} \left ( \begin{matrix} n+1 \\ r \end{matrix} \right ) \frac{ \partial^{(n+1)}f}{ \partial x^r \partial y^{n+1-r}} ( \xi , \eta )h^rk^{n+1-r}$ dl'adission as ciama termo complementar o eror dla fórmola ëd Taylor. Lassand da banda ël termo complemetar, a-i resta un polinòmi ëd gré n ant le variàbij h,k ch'a apròssima $f(x_0+h,y_0+k)$ për $(h,k) \rightarrow (0,0)$. Për $x_0=y_0=0$ i otnoma la fórmola ëd Maclaurin: $f(x,y)=f(0,0)+\sum_{j=1}^n(x \frac{ \partial }{ \partial x}+y \frac{ \partial }{ \partial y} )^jf(0,0)+$ $+ \frac 1{(n+1)!} (x \frac{ \partial }{ \partial x} +y \frac{ \partial }{ \partial y} )^{n+1}f( \theta x, \theta y),$ con $\theta \in ]0,1[$. Ël cas particolar dla fórmola ëd Taylor cand n=1 as ciama teorema dla mojen-a dël càlcol diferensial për na fonsion z=f(x,y): $f(x_1,y_1)-f(x_0,y_0)= \frac{ \partial f}{ \partial x} ( \xi , \eta )(x_1-x_0)+ \frac{ \partial f}{ \partial y} ( \xi , \eta )(y_1-y_0)$, andoa che $( \xi , \eta )$ a l'é antern al segment ch'a l'ha 'me estrem ij pont $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$.

OMMI! Ma io non SO LEGGERE!! E be'? :) È facile leggere una lingua che si parla già. Consulti questa pagina e vedrà, in un attimo anche Lei avrà il suo badge da bogianen :) St'utent-sì a l'é un bogianen OMMI! pero si YO no SE LEER! ¿Y que? :) Es fácil aprender a leer un idioma que ya se habla. Consulte usted esta pagina y verá, en un momento tendrá usted su Badge de Bogianen :) Reading piedmontese: please visit this page 50 254 artìcoj scrivù e na media ëd pàgine lesùe davzin a 1.750.000 pàgine l'ann! 'cò ti it peule travajé a fé pì granda e bela la wikipedia piemontèisa. Tùit a peulo gionté dj'anformassion, deurbe dij neuv argoment, deje na man ai volontari ch'a travajo ambelessì 'ndrinta. Rintra ant la Piòla e les coma avnì a fé toa part. I soma na gran famija e i l'oma da manca dël travaj ëd tuti. Se it la sente nen dë scrive n'artìcol, a-i son vàire travajòt da fé andova a fa pa da manca d'esse na cima a scrive për podej giuté. Mersì. BANCHÈT dj'UTISS Për dì la soa ansima a sta pàgina-sì ch'a-i daga 'n colp col rat an sël tilèt discussion. Për lasseje un messagi a j'aministrator ch'a varda ambelessì. Lìber për chi a veul amprende a lese e a scrive mej an piemontèis, e che an fan d'arferiment a tùit për la coression ortogràfica dij test. Për ёscrive dësgagià, ch'a dòvra la Tastadura piemontèisa! E ch'a manca pa 'd vardesse la pàgina d'agiut për chi as anandia da zero.