Logaritm ëd Napier

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


La fonsion  \frac 1x a l'é na fonsion continua an sla semireta  \mathbb R^+. Donca a esisto dle fonsion, definìe a manch ëd na costanta aditiva ansima a  \mathbb R^+, ch'a son le primitive d' \frac 1x , visadì dont la derivà a l'é  \frac 1x .
As ciama logaritm (ëd Napier) cola dle primitive d' \frac 1x ch'as anula për x=1. A l'é denotà logx.

Chèiche propietà dël logaritm[modìfica | modifiché la sorgiss]

Da la definission a-i ven che log x a l'é na fonsion derivàbil, e donca continua. Dagià che soa derivà a l'é positiva, as trata ëd na fonsion chërsenta.

Fórmola fondamental[modìfica | modifiché la sorgiss]

Fissoma un nùmer real a>0 e consideroma la fonsion definìa ansima a  \mathbb R^+ da f_a(x)= \log ax. Costa fonsion a l'é derivàbil e soa derivà a l'é f_a'(x)= \frac a{ax} = \frac 1x. Donca f_a(x)- \log x a l'é na costanta, ugual a f_a(1)= \log a. Da sòn a-i ven la fórmola fondamental ch'a fortiss che, për qualsëssìa nùmer reaj positiv a,b,

logab=loga+logb.

Da costa as oten che për minca real a>0 e minca natural n, a val l'ugualiansa

 \log a^n=n \log a

e, pì an general,

 \log a^r=r \log a

për qualsëssìa nùmer rassional r. Parèj as oten ëdcò che

 \log \frac ab = \log a- \log b,

si a e b a son positiv.

Lìmit[modìfica | modifiché la sorgiss]

La sequensa  \log 2^n=n \log 2 a divergg a + \infty , dagià che log2>log1=0. Sòn e la chërsensa dla fonsion a ìmplico che

 \lim_{x \rightarrow + \infty } \log x=+ \infty .

Da la relassion  \log \frac 1y =- \log y a-i ven ëdcò che

 \lim_{x \rightarrow 0^+} \log x=- \infty .

Ël dësvlup dël logaritm[modìfica | modifiché la sorgiss]

La fonsion logaritm a peul esse dësvlupà tanme:

 \log (1+x)=x- \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \ldots .