Mzura esterior

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ch'as consìdero n'ansem E e na fonsion  \alpha : \mathcal P (E)\to [0,+ \infty ] definìa an sla famija dij sot-ansem d'E e ch'a peul pijé valor reaj nen negativ o ëdcò + \infty . La fonsion α a l'é dita mzura esterior ansima a E s'a valo le relassion:

  •  \alpha ( \emptyset )=0,
  • F \subseteq\bigcup_{h\in \mathbb N }F_h \subseteq E \Rightarrow\alpha (F) \leq\sum_{h=0}^{ \infty } \alpha (F_h).

N'ansem F \subseteq E a l'é dit α-mzuràbil conforma a Charathéodory si për minca G \subseteq E a val l'ugualiansa

 \alpha (G)= \alpha (G \cap F)+ \alpha (G-F).

Chèich proprietà[modìfica | modifiché la sorgiss]

Teorema. Ch'as consìdera na mzura esterior α ansima a E. La famija  \mathcal M dj'ansem α-mzuràbij a l'é na σ-àlgebra.

Teorema. Na mzura esterior α a l'é σ-aditiva an sj'ansem α-mzuràbij, visadì si  \{ B_h \}_{h \in \mathbb N } a l'é na famija d'ansem α-mzuràbij a doi a doi disgionzù, antlora

 \alpha ( \bigcup_{h \in \mathbb N }B_h)= \sum_{h=0}^{ \infty } \alpha (B_h).

Generassion dë mzure esterior[modìfica | modifiché la sorgiss]

A-i son vàire manere ëd creé dle mzure esterior.

Ch'as fisso n'ansem E e na famija  \mathcal F ëd sot-ansem d'E tal che  \emptyset \in \mathcal F . Ch'as consìdera na fonsion  \alpha : \mathcal F \to [0,+ \infty ], con  \alpha ( \emptyset )=0. As peul antlora definì na fonsion  \alpha^*: \mathcal P (E)\to [0,+ \infty ] an butand:

  •  \alpha^*(F)= \inf\{\sum_{h=0}^{ \infty } \alpha (F_h) \mid F_h \in \mathcal F ,F \subseteq\bigcup_{h \in \mathbb N }F_h \} si l'ansem dont as fa l'estrem superior a l'é nen veuid;
  • dësnò,  \alpha^*(F)=+ \infty.

Antlora la fonsion  \alpha^* a l'é na mzura esterior.

N'àutra manera për generé na mzura esterior, a l'é col ëd parte da na famija  \alpha_{ \lambda } dë mzure esterior e definì  \alpha (F)= \sup_{ \lambda } \alpha_{ \lambda }(F) për minca F \subseteq E.

Mzure ëd Carathéodory[modìfica | modifiché la sorgiss]

Na mzura esterior α ansima a në spassi métrich M a l'é dita mzura ëd Carathéodory si, për minca cobia (E,F) ëd sot-ansem d'M a val l'amplicassion d(E,F)>0 \Rightarrow\alpha (E \cup F)= \alpha (E)+ \alpha (F).