Régola dla caden-a

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Dàite le fonsion reaj ëd variàbil real f,g con f derivàbil an x e g derivàbil an f(x), la régola dla caden-a a fortiss che la fonsion g\circ f a l'é derivàbil an x e soa derivà a l'é

g'[f(x)]f'(x).

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Da j'ipòtesi i soma che

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+ \sigma_1(h)h e g(f(x)+k)=g(f(x))+g'(f(x))k+ \sigma_2(k)k,

andoa  \lim_{h \rightarrow 0} \sigma_1(h)=0, \lim_{k \rightarrow 0} \sigma_2(k)= \sigma_2(0)=0. Pijà antlora k=f(x+h)-f(x)=f'(x)h+ \sigma_1(h)h, i trovoma che

g(f(x+h))=g(f(x))+g'(f(x))f'(x)h+σ(h)h,

anté ch'a l'é butasse

 \sigma (h)=g'(f(x)) \sigma_1(h)+ \sigma_2(f'(x)h+ \sigma_1(h)h)(f'(x)+ \sigma_1(h)).

Dagià che  \lim_{h \rightarrow 0}(f'(x)+ \sigma_1(h))h=0 e  \sigma_2 a l'é continua, e a val 0 an 0, a-i na ven che  \lim_{h \rightarrow 0} \sigma (h)=0. Sòn a conclud la dimostrassion.

Chèich esempi d'aplicassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Ch'as consìdera la fonsion h(x)= \sqrt{1-x^2} .
Costa a l'é la composission g \circ f dle fonsion f(x)=1-x^2 e g(y)= \sqrt{y}.

Dagià che f'(x)=-2x e g(y)= \frac 1{2 \sqrt{y} } , an dovrand la régola as oten

h'(x)= \frac 1{2 \sqrt{1-x^2} } (-2x)=- \frac x{ \sqrt{1-x^2} }.
  • La régola dla caden-a a peul esse dovrà ëdcò për dle composission ëd pì che doe fonsion. Për esempi, consideroma la fonsion h(x)=e^{ \cos 3x }.
As agiss dla composission dle fonsion
φ(x)=3x,
ψ(y)=cosy, dont na prima aplicassion dla régola dla caden-a a smon ( \psi \circ \varphi )'(x)=-3 \sin 3x,
g(z)=e^z.
N'àutra aplicassion dla régola dla caden-a an dà
h'(x)=-3e^{ \cos 3x} \sin 3x.

Generalisassion a dimension pì grande[modìfica | modifiché la sorgiss]

La régola ëd derivassion dle fonsion componùe a peul esse generalisà a dimension pì grande.
Consideroma, për esempi, na fonsion f:E \subseteq \mathbb R^2 \to \mathbb R e suponoma che f a sia tut afàit diferensiàbil ant ël pont P_0=(x_0,y_0) \in E, che donca a resta a l'anterior d'E. Si  \varphi , \psi :I \to \mathbb R a son fonsion derivàbij an t_0, e a pijo ij valor  \varphi (t_0)=x_0, \psi (t_0)=y_0, antlora la fonsion F(t)=f( \varphi (t), \psi (t)) a l'é derivàbil an t_0 e i l'oma:

F'(t_0)= \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0) \varphi'(t_0)+ \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0,y_0) \psi'(t_0).

An dovrand le notassion ëd Leibniz, costa relassion a peul esse scrivùa  \frac{df}{dt} = \frac{ \partial f}{ \partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{ \partial f}{ \partial y} \frac{dy}{dt}.

Dimostrassion. Dagià che φ e ψ a son continue an t_0, për Δt an n'anviron forà ëd 0 i l'oma che ( \varphi (t_0+ \Delta t), \psi (t_0+ \Delta t)) \in E. Antlora, si x= \varphi (t_0+ \Delta t),y= \psi (t_0+ \Delta t), a-i na ven che

F(t_0+ \Delta t)-F(t_0)=f(x,y)-f(x_0,y_0)=
= \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0) \Delta x+ \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0,y_0) \Delta y+ \sigma \sqrt{ \Delta x^2+ \Delta y^2},

andoa  \Delta x= \varphi (t_0+ \Delta t)- \varphi (t_0), \Delta y= \psi (t_0+ \Delta t)- \psi (t_0) e σ a l'é infinitésim për  \sqrt{ \Delta x^2+ \Delta y^2} \rightarrow 0 e donca ëdcò për  \Delta t \rightarrow 0.
I na otnoma che

 \frac{F(t_0+ \Delta t)-F(t_0)}{ \Delta t} = \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0) \frac{ \Delta x}{ \Delta t} + \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0,y_0) \frac{ \Delta y}{ \Delta t} +
+ \sigma \sqrt{( \frac{ \Delta x}{ \Delta t} )^2+( \frac{ \Delta y}{ \Delta t} )^2}.

Dagià che

 \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta x}{ \Delta t}= \varphi' (t_0), \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta y}{ \Delta t}= \psi'(t_0), \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \sigma =0,

as peul conclude che

 \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{F(t_0+ \Delta t)-F(t_0)}{ \Delta t}= \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0,y_0) \varphi'(t_0)+ \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0,y_0) \psi' (t_0).