Relassion d'órdin

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Na relassion binaria  \leq ansima a n'ansem A a l'é dita relassion d'órdin (parsial) s'a l'é riflessiva, transitiva e anti-simétrica.
La relassion d'órdin  \leq ansima a A a l'é ciamà n'órdin total si, an dzorpì, a val la propietà che për minca x,y \in A, almanch un-a dle relassion x \leq y o y \leq x a val. Ant ës cas-si, as dis che l'ansem A a l'é ordinà an manera total, o na caden-a.

Un sot-ansem P ëd n'ansem ordinà (an manera parsial) (A, \leq ) a l'é dit n'anti-caden-a si për minca x,y \in P, si x \leq y antlora x=y.

Si da na relassion d'órdin as gava la diagonal, visadì as definiss x<y \Leftrightarrow x \leq y \wedge x \neq y, as oten na relassion < d'órdin s-ciass.

Element ëspeciaj ëd n'órdin[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera un sot-ansem X ëd n'órdin parsial (A, \leq ) e n'element p \in A. L'element p a l'é:

  • un minorant d'X si p \leq x për minca x \in X;
  • estrem anferior d'X s'a l'é ël pì gròss dij minorant, visadì s'a l'é un minorant e, an dzorpì, për minca minorant y d'X a val y \leq x;
  • mìnim d'X s'a l'é n'estrem anferior d'X ch'a aparten a X;
  • un magiorant d'X si x \leq p për minca x \in X;
  • estrem superior d'X s'a l'é 'l pì cit dij magiorant, visadì s'a l'é un magiorant e, an dzorpì, për minca magiorant y d'X a val x \leq y;
  • màssim d'X s'a l'é n'estrem superior d'X ch'a aparten a X.

Pijà n'element a \in X i disoma che a a l'é:

  • minimal an X si për tut element x \in X tal che x \leq a, i l'oma a=x;
  • massimal an X si për tut element x \in X tal che a \leq x, i l'oma a=x.

L'estrem anferior d'un sot-ansem X as denòta infX; l'estrem superior as denòta supX.
N'órdin parsial anté che për minca a,b a-i son sia inf{a,b} che sup{a,b} a l'é un retìcol. N'órdin parsial andoa minca caden-a (comprèisa cola veuida) a l'ha n'estrem superior as dis andutiv.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Për minca ansem A, l'ansem potensa  \mathcal P (A) sota la relassion d'anclusion a l'é andutiv.
  • Dàit doi ansem A e B, l'ansem dle fonsion parsiaj, definìe ansima a 'n sot-ansem d'A a valor an B, sota la relassion d'anclusion, a l'é andutiv.

Isomorfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdero j'órdin (P, \leq_P) e (Q, \leq_Q). N'isomorfism antra ij doi órdin a l'é qualsëssìa bijession f:P \to Q tal che, për minca x,y \in P,

x \leq_Py \Leftrightarrow f(x) \leq_Qf(y).

S'a-i é n'isomorfism antra P e Q, ij doi órdin as diso isomorf.

Operassion an sj'órdin[modìfica | modifiché la sorgiss]

A-i son vàire manere për fabriché n'órdin neuv an partend da órdin dàit.

L'union disgionzùa o soma orisontal ëd doi órdin disgionzù (A, \leq_A),(B, \leq B) a l'é l'órdin  \leq definì ansima A \cup B an butand x \leq y si e mach si:

  • x,y \in A e x \leq_Ay,
  • opura x,y \in B e x \leq_By.

La soma linear o soma vertical ëd doi órdin disgionzù (A, \leq_A) e (B, \leq_B) a l'é l'órdin  \leq ansima a A \cup B definì an butand x \leq y si e mach si:

  • x,y \in A e x \leq_Ay,
  • opura x,y \in B e x \leq_By,
  • opura x \in A,y \in B.

Órdin totaj[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ansem satì[modìfica | modifiché la sorgiss]

Un sot-ansem B ëd n'órdin total A a l'é dit satì an A si

 \forall x,y \in A, x<y \Rightarrow\exists b\in B,x<b<y.

Órdin complet[modìfica | modifiché la sorgiss]

N'órdin total a l'é complet si minca sot-ansem nen veuid ch'a l'ha un magiorant a l'ha n'estrem superior.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

L'órdin dij rassionaj a l'é nen complet, përchè l'ansem  \{ r \in \mathbb Q \mid r^2<2 \} a l'é limità da dzora ma a l'ha gnun estrem superior.

Bon órdin[modìfica | modifiché la sorgiss]

Un bon órdin a l'é n'órdin total anté che tut sot-ansem nen veuid a l'ha un mìnim.