Teorema ëd Banach-Steinhaus

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ël teorema ëd Banach-Steinhaus o prinsipi ëd limitatëssa uniforma a l'é un dj'arzultà fondamentaj dl'anàlisi fonsional e, ansema al teorema ëd Hahn-Banach e ël teorema dla fonsion duverta, a l'é considerà un-a dle bas dë sta branca dl'anàlisi. An soa forma pì sempia, a fortiss che për na famija d'operator linear continuo definì ansima a në spassi ëd Banach, la limitatëssa pontual a l'é equivalenta a la limitatëssa.

Ël teorema a l'é stàit publicà la prima vira ant ël 1927 da Stefan Banach e Hugo Steinhaus ma a l'é stàit ëdcò dimostrà an manera indipendenta da Hans Hahn.

Enonsià[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'a sio X në spassi ëd Banach, Yspassi normà e F na famija d'operator linear continuo da X an Y taj che për tuti j'x an X a arzulta

\sup \left\{\,\|Tx\| : T \in F \,\right\} < \infty .

Antlora

 \sup \left\{\, \|T\| : T \in F \;\right\} < \infty. .

An dovrand ël teorema ëd categorìa ëd Baire, i l'oma la dimostrassion sì da press.

Dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Për minca n\in\mathbb N definioma l'ansem

A_n \doteq \left\{x\in X: \|Tx\|\le n \ \forall T\in F\right\}.

Për ipòtesi, për minca x\in X a-i é n'ìndes natural n=n(x) tal che \|Tx\|\le n\ \forall T\in F e da sòn a-i ven che X=\cup_{n=1}^\infty A_n. Armarcoma che, për la continuità dj'element T d'F, tuti j'ansem A_n a son sarà. Arcorend al teorema ëd categorìa ëd Baire i na derivoma ch'a esist un natural m tal che \overline{A}_m=A_m a l'ha anterior nen veuid, visadì a-i son y\in X e \epsilon>0 taj che

B_{ \epsilon }(y)\subseteq T^{-1}\left(\left\{z: \|z\|\le m\right\}\right) \ \forall T \in F.

An d'àutre paròle i l'oma

\|T(x+y)\|\le m \ \forall x: \|x\|< \epsilon, \ \forall T\in F

e donca

\|Tx\|\le \|T(x+y)\|+\|Ty\|\le m + \|Ty\| \ \forall x: \|x\|<\epsilon, \ \forall T\in F.

Da x\in X a-i ven che

\|Tx\|=\left\|T\left(\frac{\|x\|}{\epsilon}\cdot \frac{\epsilon}{\|x\|}\cdot x\right)\right\| =
\frac{\|x\|}{\epsilon}\left\|T\left(\epsilon \cdot \frac{x}{\|x\|}\right)\right\| \le \frac{\|x\|}{\epsilon}\left(m+\|Ty\|\right) \ \forall T\in F.

'me conseguensa

\|T\|\le \frac{1}{\epsilon}\left(m+\|Ty\|\right)\ \forall T\in F.

Sòn a completa la dimostrassion.

Generalisassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

L'ambient natural për ël teorema ëd Banach-Steinhaus a l'é në spassi botal anté vale la version generalisà dël teorema sì da press:

Dàit në spassi botal X e në spassi localman convess Y, qualsëssìa famija d'operator linear continuo, limità pontualman, da X a Y a l'é equicontinua (ëdcò uniformeman equicontinua).