Teorema ëd Banach-Steinhaus

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì

Ël teorema ëd Banach-Steinhaus o prinsipi ëd limitatëssa uniforma a l'é un dj'arzultà fondamentaj dl'anàlisi fonsional e, ansema al teorema ëd Hahn-Banach e ël teorema dla fonsion duverta, a l'é considerà un-a dle bas dë sta branca dl'anàlisi. An soa forma pì sempia, a fortiss che për na famija d'operator linear continuo definì ansima a në spassi ëd Banach, la limitatëssa pontual a l'é equivalenta a la limitatëssa.

Ël teorema a l'é stàit publicà la prima vira ant ël 1927 da Stefan Banach e Hugo Steinhaus ma a l'é stàit ëdcò dimostrà an manera indipendenta da Hans Hahn.

Enonsià[modìfica]

Ch'a sio $X$ në spassi ëd Banach, $Y$ në spassi normà e $F$ na famija d'operator linear continuo da $X$ an $Y$ taj che për tuti j'x an X a arzulta

$\sup \left\{\,\|Tx\| : T \in F \,\right\} < \infty$ .

Antlora

$\sup \left\{\, \|T\| : T \in F \;\right\} < \infty.$ .

An dovrand ël teorema ëd categorìa ëd Baire, i l'oma la dimostrassion sì da press.

Dimostrassion[modìfica]

Për minca $n\in\mathbb N$ definioma l'ansem

$A_n \doteq \left\{x\in X: \|Tx\|\le n \ \forall T\in F\right\}$ .

Për ipòtesi, për minca $x\in X$ a-i é n'ìndes natural $n=n(x)$ tal che $\|Tx\|\le n\ \forall T\in F$ e da sòn a-i ven che $X=\cup_{n=1}^\infty A_n$ . Armarcoma che, për la continuità dj'element $T$ d' $F$ , tuti j'ansem $A_n$ a son sarà. Arcorend al teorema ëd categorìa ëd Baire i na derivoma ch'a esist un natural $m$ tal che $\overline{A}_m=A_m$ a l'ha anterior nen veuid, visadì a-i son $y\in X$ e $\epsilon>0$ taj che

$B_{ \epsilon }(y)\subseteq T^{-1}\left(\left\{z: \|z\|\le m\right\}\right) \ \forall T \in F$ .

An d'àutre paròle i l'oma

$\|T(x+y)\|\le m \ \forall x: \|x\|< \epsilon, \ \forall T\in F$

e donca

$\|Tx\|\le \|T(x+y)\|+\|Ty\|\le m + \|Ty\| \ \forall x: \|x\|<\epsilon, \ \forall T\in F$ .

Da $x\in X$ a-i ven che

$\|Tx\|=\left\|T\left(\frac{\|x\|}{\epsilon}\cdot \frac{\epsilon}{\|x\|}\cdot x\right)\right\| = \frac{\|x\|}{\epsilon}\left\|T\left(\epsilon \cdot \frac{x}{\|x\|}\right)\right\| \le \frac{\|x\|}{\epsilon}\left(m+\|Ty\|\right) \ \forall T\in F$ .

'me conseguensa

$\|T\|\le \frac{1}{\epsilon}\left(m+\|Ty\|\right)\ \forall T\in F$ .

Sòn a completa la dimostrassion.

Generalisassion[modìfica]

L'ambient natural për ël teorema ëd Banach-Steinhaus a l'é në spassi botal anté vale la version generalisà dël teorema sì da press:

Dàit në spassi botal X e në spassi localman convess Y, qualsëssìa famija d'operator linear continuo, limità pontualman, da X a Y a l'é equicontinua (ëdcò uniformeman equicontinua).

OMMI! Ma io non SO LEGGERE!! E be'? :) È facile leggere una lingua che si parla già. Consulti questa pagina e vedrà, in un attimo anche Lei avrà il suo badge da bogianen :)

St'utent-sì a l'é un bogianen

OMMI! pero si YO no
SE LEER!

¿Y que? :) Es fácil aprender a leer un idioma que ya se habla. Consulte usted esta pagina y verá, en un momento tendrá usted su Badge de Bogianen :)

Reading piedmontese: please visit this page

62 566 artìcoj scrivù e na media ëd pàgine lesùe davzin a 6.000.000 ëd pàgine l'ann!

'cò ti it peule travajé a fé pì granda e bela la wikipedia piemontèisa. Tùit a peulo gionté dj'anformassion, deurbe dij neuv argoment, deje na man ai volontari ch'a travajo ambelessì 'ndrinta. Rintra ant la Piòla e les coma avnì a fé toa part. I soma na gran famija e i l'oma da manca dël travaj ëd tuti. Se it la sente nen dë scrive n'artìcol, a-i son vàire travajòt da fé andova a fa pa da manca d'esse na cima a scrive për podej giuté. Mersì.

BANCHÈT dj'UTISS

Për dì la soa ansima a sta pàgina-sì ch'a-i daga 'n colp col rat an sël tilèt discussion. Për lasseje un messagi a j'aministrator ch'a varda ambelessì.