Teorema ëd Hahn-Banach

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Forma analìtica[modìfica | modifiché la sorgiss]

La forma analìtica dël teorema ëd Hahn-Banach a rësguarda lë slongament ëd forme linear.

Consideroma në spassi vetorial E ansima a  \mathbb R e na fonsion p:E \to \mathbb R ch'a l'abia le propietà:

  • p(λx)=λp(x) për minca  x \in E e minca λ>0;
  • p(x+y) \leq p(x)+p(y) .

Ch'a consìdero peui un sot-ëspassi vetorial G \subseteq E e na forma linear g:G \to \mathbb R tal che g(x) \leq p(x) për minca x \in G .
Antlora a esist na forma linear f definìa ansima a E e ch'a slonga g, visadì tal che g(x)=f(x) për minca x \in G, con la propietà che  \forall x \in E,f(x) \leq p(x).

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

La dimostrassion d'ës teorema a deuvra ël lema ëd Zorn.

Ch'as consìdera l'ansem P ëd tute le forme linear h con domini un sot-ëspassi vetorial d'E ch'a slongo g e ch'a l'ha la propietà che, për tuti j'x an sò domini, h(x) \leq p(x). An s'ansem definioma na relassion d'órdin an butand h_1 \leq h_2 si e mach si h_2 a slonga h_1. I l'oma che P a l'é nen veuid, dagià che g \in P.
Verificoma che P a l'é n'asem andutiv. Për sòn, pijoma na caden-a Q e definioma na fonsion h con domini l'union ëd tuti ij domini dj'element ëd P e con valor h(x)=k(x) për qualsëssìa k \in Q ch'a l'abia x an sò domini. Dagià che Q a l'é na caden-a, costa definission a l'ha 'd sust e h a l'é 'n magiorant ëd l'ansem Q. Për ël lema ëd Zorn, ciamoma f n'element massimal ëd P. A basta antlora fé vëdde che ël domini F d'f a l'é tut E.
Si sòn a fussa nen vera, pijoma x_0 \in E-F. Consideroma ël sot-ëspassi D=F \oplus \mathcal L (x_0). I voroma definì na fonsion h con domini D an butand h(x+tx_0)=f(x)+t \alpha për minca x an F e minca nùmer real t. Ma i voroma ëdcò che h \in P, visadì che

f(x)+t \alpha\leq p(x+tx_0)

për minca x \in F e t \in \mathbb R . Për sòn a basta avèj le disugualianse

f(x)+ \alpha \leq p(x+x_0) e
f(x)- \alpha \leq p(x-x_0).

Ma antlora a basta serne α an manera che

 \sup_{y \in F} \{ f(y)-p(y-x_0) \}\leq\alpha\leq \inf_{x \in F} \{ p(x+x_0)-f(x),

lòn ch'a l'é possìbil, dagià che për minca x,y \in F i l'oma

f(y)-p(y-x_0) \leq p(x+x_0)-f(x)

mersì a le relassion

f(x)+f(y) \leq p(x+y) \leq p(x+x_0)+p(y-x_0)

ch'an ven-o j'ipòtesi ansima a p.

Forme geométriche[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera në spassi vetorial normà E e doi sot-ansem bombà A e B d'E, nen veuid e disgionzù.

Prima forma geométrica[modìfica | modifiché la sorgiss]

Suponoma che A a sia duvert. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens largh, visadì

 \forall x \in A, \forall y \in B,f(x) \leq\alpha\leq f(y).

Sconda forma geométrica[modìfica | modifiché la sorgiss]

Suponoma che A a sia sarà e B a sia compat. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens ës-ciass, visadì

 \forall x \in A, \forall y \in B,f(x)< \alpha <f(y).

Aplicassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ël teorema ëd Hahn-Banach a l'ha vàire aplicassion, për esempi ël teorema ëd Krein-Milman.