Teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral

	Artìcol prinsipal an lenga piemontèisa
	Version an parlà locaj: Astësan Bielèis Canavzan Langhèt Lissandrin Monfrin Noarèis Seban Valsesian Valsusin
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì

Ij teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral a son tre teorema (teorema ëd B. Levi o dla convergensa monoton-a, lema ëd Fatou, teorema dla convergensa dominà ëd Lebesgue) ch'a smon-o ëd condission për che ël lìmit ëd na sequensa ëd fonsion antëgràbij a sia antëgràbil. Mincadun ëd si teorema a l'é consegoensa ëd col ch'a-i ven prima. An tuti j'enonsià ch'a ven-o sì da press, $(X, \Sigma , \mu )$ a l'é në spassi dë mzura. Teorema ëd B. Levi Ël teorema ëd Beppo Levi a l'é stàit dimostrà da Beppo Levi an n'artìcol dël 1906. Si $(f_n)$ a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij ansima a $X$ con la proprietà che për minca $n\in \mathbb N$ a sia $f_n\leq f_{n+1}$ squasi daspërtut e che $\sup_{n\in \mathbb N}\int f_n$ a sia finì, antlora la fonsion $f$ limit pontoal dla sequensa a l'é antëgràbil e sò antëgral a resta $\lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n$. La dimostrassion Ancaminoma a traté ël cas $f_0=0$ scasi daspërtut e ch'a sia $c= \lim_{n \rightarrow \infty } \int f_n$. Ch'as pija n'ansem co-trascuràbil E anté che $f_0=0$ e $f_n \leq f_{n+1}$. Fissà a>0 e $n \in \mathbb N$, l'ansem $H_n(a)= \{ x \in E \mid f_n(x) \geq a \}$ a l'é mzuràbil e $H_n(a) \subseteq H_{n+1}(a)$. An dzorpì, $a \chi_{H_n(a)} \leq f_n$ ansima a E, anté che $\chi_A$ a l'é la fonsion caraterìstica dl'ansem A. Donca $a \mu [H_n(a)]= \int a \chi_{H_n(a)} \leq \int f_n \leq c$. Ch'as consìdera $H(a)= \cup_nH_n(a)$. A-i na ven che $\mu [H(a)]= \lim_{n \rightarrow \infty } \mu [H_n(a)] \leq \frac ca$ e parèj $\mu [H(a)]$ a l'é finì. Dagià che $\mu [ \cap_{k \geq 1}H(k)] \leq \inf_{k \geq 1} \mu [H(k)] \leq \inf_{k \geq 1} \frac ck =0$, l'ansem $F=E \setminus \cap_{k \geq 1}H(k)$ a l'é co-trascuràbil. Si $x \in F$, antlora $x \notin H(k)$ për chèich k, visadì $x \notin \cup_nH_n(k)$ e parèj $f_n(x)<k$ për minca n. Dagià che la sequensa $(f_n(x))_n$ a l'é nen dechërsenta, $f(x)= \lim_{n \rightarrow \infty }f_n(x) \in \mathbb R$ e la fonsion f a l'é definìa scasi daspërtut e a l'é mzuràbil. Për minca $\epsilon >0$, $\{ x \in F \mid f(x) \geq \epsilon \} \subseteq H (\frac 12 \epsilon )$, donca $\{ x \in F \mid f(x) \geq \epsilon \}$ a l'ha mzura finìa. Adess, pijoma na fonsion sempia g tal che $g \leq f$ scasi daspërtut e foma cont che g a sia limità dëdzora da M. Armarcoma che $H= \{ x \mid g(x) \neq 0 \}$ a l'ha mzura finìa. Fissoma ëdcò $\epsilon >0$ e scrivoma $G_n= \{ x \in F \mid g(x)-f_n(x) \geq \epsilon \}$. Antlora minca $G_n$ a l'é mzuràbil e $G_{n+1} \subseteq G_n$; l'antërsession ëd costa sequensa a l'é $\{ x \in F \mid g(x) \geq \epsilon + \sup_{n \in \mathbb N }f_n(x) \} \subseteq \{x \in F \mid g(x)<f(x) \}$, ch'a l'é trascuràbil. D'àutra part $\mu (G_0)<+ \infty$. Ëd conseguensa, $\lim_{n \rightarrow \infty } \mu (G_n)=0$. Ch'as pija n tal che $\mu (G_n) \leq \epsilon$. A-i na ven che $g \leq f_n+M \chi_{g_n}+M \chi_{X \setminus E}+ \epsilon \chi_H$ e donca $\int g \leq \int f_n+M \mu (G_n)+M \mu (H \setminus E)+ \epsilon \mu (H) \leq c+ \epsilon [M+ \mu (H)]$, lòn ch'a dà $\int g \leq c$. Da sòn a-i ven che la restrission $f|_E\geq 0$ a l'é antëgràbil e sò antëgral a l'é pà pì che c. Da già che $f=f|E$ scasi daspërtut, ëdcò f a l'é antëgràbil, con ël midem antëgral. D'àutra part, për minca $n \in \mathbb N$, $f \geq f_n$ scasi daspërtut, e parèj $\int f \geq \sup_{n \in \mathbb N } \int f_n=c$. Sòn a completa la dimostrassion cand $f_0=0$ scasi daspërtut. Për ël cas general, ch'as considera la sequensa $f'_n=f_n-f_0$. Lema ëd Fatou Consideroma na sequensa $f_n$ ëd fonsion reaj antëgràbij dzora $X$ anté che minca $f_n$ a sia squasi daspërtut nen negativa e $\liminf_{n \rightarrow\infty }\int f_n<+\infty$. Antlora la fonsion $\liminf_{n \rightarrow\infty }f_n$ a l'é antëgràbil e $\int\liminf_{n \rightarrow\infty }f_n\leq\liminf_{n \rightarrow\infty }\int f_n$. La dimostrassion Ch'as pija $c= \lim \inf_{n \rightarrow \infty } f_n$. Për minca $n \in \mathbb N$, ch'as considera n'ansem $E_n$ co-trascuràbil, anté che $f'_n=f_n|_{E_n}$ a sia mzuràbil e nen negativa e ch'a sia $g_n= \inf_{m \geq n}f'_m$. Antlora, minca $g_n$, ansima a l'ansem co-trascuràbil $\cap_{m \geq n}E_m$ a l'é mzuràbil e nen negativa, e $g_n\leq f_n$ scasi daspërtut; donca $g_n$ a l'é antëgrabil con $\int g_n \leq \inf_{n \geq n} \int f_m \leq c$. D'àutra part, $\forall x \in domg_n, \ g_n(x) \leq g_{n+1}(x)$, parèj la sequensa $g_n$ a sodisfa le condission dël teorema ëd Beppo Levi; parèj $g= \lim_{n \rightarrow \infty }g_n$ a l'é antëgràbil, con $\int g= \lim_{n \rightarrow \infty } \int g_n \leq c$. Dagià che $f'_n=f_n$ scasi daspërtut, a-i na ven che $g= \liminf_{n \rightarrow \infty }f'_n=f$ scasi daspërtut, e $\int f$ a esist e a fa $\int g \leq c$. Teorema ëd Lebesgue dla convergensa dominà Si $f_n$ a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij dzora $X$, si $f(x)= \lim_{n \rightarrow\infty } f_n(x)$ a esist finì pr'ësquasi tuti j'$x\in X$ e si a-i é na fonsion antëgràbil $g$ con $|f_n| \leq g$ squasi daspërtut për minca $n\in \mathbb N$, antlora $f$ a l'é na fonsion antëgràbil e $\lim_{n \rightarrow\infty } \int f_n$ a esist e a l'é ugoal a $\int f$. La dimostrassion Ch'as definissa $\bar f_n=f_n+g$. Dagià che $0 \leq \bar f_n \leq 2g$, a-i na ven che $c= \liminf_{n \rightarrow \infty } \int \bar f_n \in \mathbb R$, e $\bar f = \liminf_{n \rightarrow \infty } \bar f_n$ a l'é antëgràbil, con $\int \bar f \leq c$, për ël lema ëd Fatou. D'àutra part, $f= \bar f -g$ scasi daspërtut; parèj f a l'é antëgràbil, con $\int f = \int \bar f - \int g \leq \liminf_{n \rightarrow \infty } \int \bar f_n- \int \bar g= \liminf_{n \rightarrow \infty } \int f_n$. Dl'istessa manera, an pijand la sequensa $-f_n$, un a oten $\int (-f) \leq \liminf_{n \rightarrow \infty } \int (-f_n)$, lòn ch'a veul dì $\int f \geq \lim \sup_{n \rightarrow \infty } \int f_n$. Donca $\lim_{n \rightarrow \infty } \int f_n$ a esist e a fa $\int f$.

OMMI! Ma io non SO LEGGERE!! E be'? :) È facile leggere una lingua che si parla già. Consulti questa pagina e vedrà, in un attimo anche Lei avrà il suo badge da bogianen :) St'utent-sì a l'é un bogianen OMMI! pero si YO no SE LEER! ¿Y que? :) Es fácil aprender a leer un idioma que ya se habla. Consulte usted esta pagina y verá, en un momento tendrá usted su Badge de Bogianen :) Reading piedmontese: please visit this page 50 264 artìcoj scrivù e na media ëd pàgine lesùe davzin a 1.750.000 pàgine l'ann! 'cò ti it peule travajé a fé pì granda e bela la wikipedia piemontèisa. Tùit a peulo gionté dj'anformassion, deurbe dij neuv argoment, deje na man ai volontari ch'a travajo ambelessì 'ndrinta. Rintra ant la Piòla e les coma avnì a fé toa part. I soma na gran famija e i l'oma da manca dël travaj ëd tuti. Se it la sente nen dë scrive n'artìcol, a-i son vàire travajòt da fé andova a fa pa da manca d'esse na cima a scrive për podej giuté. Mersì. BANCHÈT dj'UTISS Për dì la soa ansima a sta pàgina-sì ch'a-i daga 'n colp col rat an sël tilèt discussion. Për lasseje un messagi a j'aministrator ch'a varda ambelessì. Lìber për chi a veul amprende a lese e a scrive mej an piemontèis, e che an fan d'arferiment a tùit për la coression ortogràfica dij test. Për ёscrive dësgagià, ch'a dòvra la Tastadura piemontèisa! E ch'a manca pa 'd vardesse la pàgina d'agiut për chi as anandia da zero.