Teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ij teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral a son tre teorema (teorema ëd B. Levi o dla convergensa monoton-a, lema ëd Fatou, teorema dla convergensa dominà ëd Lebesgue) ch'a smon-o ëd condission për che ël lìmit ëd na sequensa ëd fonsion antëgràbij a sia antëgràbil. Mincadun ëd si teorema a l'é consegoensa ëd col ch'a-i ven prima.

An tuti j'enonsià ch'a ven-o sì da press, (X, \Sigma , \mu ) a l'é në spassi dë mzura.

Teorema ëd B. Levi[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ël teorema ëd Beppo Levi a l'é stàit dimostrà da Beppo Levi an n'artìcol dël 1906.

Si (f_n) a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij ansima a X con la proprietà che për minca n\in \mathbb N a sia f_n\leq f_{n+1} squasi daspërtut e che \sup_{n\in \mathbb N}\int f_n a sia finì, antlora la fonsion f limit pontoal dla sequensa a l'é antëgràbil e sò antëgral a resta \lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n.

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ancaminoma a traté ël cas f_0=0 scasi daspërtut e ch'a sia c= \lim_{n \rightarrow \infty } \int f_n. Ch'as pija n'ansem co-trascuràbil E anté che f_0=0 e f_n \leq f_{n+1}.

Fissà a>0 e n \in \mathbb N , l'ansem H_n(a)= \{ x \in E \mid f_n(x) \geq a \} a l'é mzuràbil e H_n(a) \subseteq H_{n+1}(a). An dzorpì, a \chi_{H_n(a)} \leq f_n ansima a E, anté che  \chi_A a l'é la fonsion caraterìstica dl'ansem A. Donca

a \mu [H_n(a)]= \int a \chi_{H_n(a)} \leq \int f_n \leq c.

Ch'as consìdera H(a)= \cup_nH_n(a). A-i na ven che

 \mu [H(a)]= \lim_{n \rightarrow \infty } \mu [H_n(a)] \leq \frac ca

e parèj  \mu [H(a)] a l'é finì. Dagià che

 \mu [ \cap_{k \geq 1}H(k)] \leq \inf_{k \geq 1} \mu [H(k)] \leq \inf_{k \geq 1} \frac ck =0,

l'ansem F=E \setminus \cap_{k \geq 1}H(k) a l'é co-trascuràbil.

Si x \in F, antlora x \notin H(k) për chèich k, visadì x \notin \cup_nH_n(k) e parèj f_n(x)<k për minca n. Dagià che la sequensa (f_n(x))_n a l'é nen dechërsenta, f(x)= \lim_{n \rightarrow \infty }f_n(x) \in \mathbb R e la fonsion f a l'é definìa scasi daspërtut e a l'é mzuràbil.
Për minca  \epsilon >0,  \{ x \in F \mid f(x) \geq \epsilon \} \subseteq H (\frac 12 \epsilon ), donca  \{ x \in F \mid f(x) \geq \epsilon \} a l'ha mzura finìa.

Adess, pijoma na fonsion sempia g tal che g \leq f scasi daspërtut e foma cont che g a sia limità dëdzora da M. Armarcoma che H= \{ x \mid g(x) \neq 0 \} a l'ha mzura finìa. Fissoma ëdcò  \epsilon >0 e scrivoma G_n= \{ x \in F \mid g(x)-f_n(x) \geq \epsilon \} . Antlora minca G_n a l'é mzuràbil e G_{n+1} \subseteq G_n; l'antërsession ëd costa sequensa a l'é

 \{ x \in F \mid g(x) \geq \epsilon + \sup_{n \in \mathbb N }f_n(x) \} \subseteq \{x \in F \mid g(x)<f(x) \} ,

ch'a l'é trascuràbil. D'àutra part  \mu (G_0)<+ \infty . Ëd conseguensa,  \lim_{n \rightarrow \infty } \mu (G_n)=0. Ch'as pija n tal che  \mu (G_n) \leq \epsilon . A-i na ven che

g \leq f_n+M \chi_{g_n}+M \chi_{X \setminus E}+ \epsilon \chi_H

e donca

 \int g \leq \int f_n+M \mu (G_n)+M \mu (H \setminus E)+ \epsilon \mu (H) \leq c+ \epsilon [M+ \mu (H)],

lòn ch'a dà  \int g \leq c.

Da sòn a-i ven che la restrission f|_E\geq 0 a l'é antëgràbil e sò antëgral a l'é pà pì che c. Da già che f=f|E scasi daspërtut, ëdcò f a l'é antëgràbil, con ël midem antëgral. D'àutra part, për minca n \in \mathbb N , f \geq f_n scasi daspërtut, e parèj  \int f \geq \sup_{n \in \mathbb N } \int f_n=c.
Sòn a completa la dimostrassion cand f_0=0 scasi daspërtut.

Për ël cas general, ch'as considera la sequensa f'_n=f_n-f_0.

Lema ëd Fatou[modìfica | modifiché la sorgiss]

Consideroma na sequensa f_n ëd fonsion reaj antëgràbij dzora X anté che minca f_n a sia squasi daspërtut nen negativa e \liminf_{n \rightarrow\infty }\int f_n<+\infty. Antlora la fonsion \liminf_{n \rightarrow\infty }f_n a l'é antëgràbil e \int\liminf_{n \rightarrow\infty }f_n\leq\liminf_{n \rightarrow\infty }\int f_n.

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as pija c= \lim \inf_{n \rightarrow \infty } f_n. Për minca n \in \mathbb N , ch'as considera n'ansem E_n co-trascuràbil, anté che f'_n=f_n|_{E_n} a sia mzuràbil e nen negativa e ch'a sia g_n= \inf_{m \geq n}f'_m. Antlora, minca g_n, ansima a l'ansem co-trascuràbil  \cap_{m \geq n}E_m a l'é mzuràbil e nen negativa, e g_n\leq f_n scasi daspërtut; donca g_n a l'é antëgrabil con  \int g_n \leq \inf_{n \geq n} \int f_m \leq c. D'àutra part,  \forall x \in domg_n, \ g_n(x) \leq g_{n+1}(x), parèj la sequensa g_n a sodisfa le condission dël teorema ëd Beppo Levi; parèj g= \lim_{n \rightarrow \infty }g_n a l'é antëgràbil, con  \int g= \lim_{n \rightarrow \infty } \int g_n \leq c. Dagià che f'_n=f_n scasi daspërtut, a-i na ven che g= \liminf_{n \rightarrow \infty }f'_n=f scasi daspërtut, e  \int f a esist e a fa  \int g \leq c.

Teorema ëd Lebesgue dla convergensa dominà[modìfica | modifiché la sorgiss]

Si f_n a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij dzora X, si f(x)= \lim_{n \rightarrow\infty } f_n(x) a esist finì pr'ësquasi tuti j'x\in X e si a-i é na fonsion antëgràbil g con |f_n| \leq g squasi daspërtut për minca n\in \mathbb N , antlora f a l'é na fonsion antëgràbil e \lim_{n \rightarrow\infty } \int f_n a esist e a l'é ugoal a \int f.

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as definissa  \bar f_n=f_n+g. Dagià che 0 \leq \bar f_n \leq 2g, a-i na ven che c= \liminf_{n \rightarrow \infty } \int \bar f_n \in \mathbb R , e  \bar f = \liminf_{n \rightarrow \infty } \bar f_n a l'é antëgràbil, con  \int \bar f \leq c, për ël lema ëd Fatou. D'àutra part, f= \bar f -g scasi daspërtut; parèj f a l'é antëgràbil, con

 \int f = \int \bar f - \int g \leq \liminf_{n \rightarrow \infty } \int \bar f_n- \int \bar g= \liminf_{n \rightarrow \infty } \int f_n.

Dl'istessa manera, an pijand la sequensa -f_n, un a oten

 \int (-f) \leq \liminf_{n \rightarrow \infty } \int (-f_n),

lòn ch'a veul dì

 \int f \geq \lim \sup_{n \rightarrow \infty } \int f_n.

Donca  \lim_{n \rightarrow \infty } \int f_n a esist e a fa  \int f.