Teorema dla fonsion duverta

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ël teorema dla fonsion duverta a l'é dovù a Banach. A fortiss che si E e F a son dë spassi ëd Banach e T a l'é n'operador linear continuo e surietiv da E a F, antlora a-i é na costanta c>0 tal che la sfera ëd sènter 0 e raj c an F a l'é contnùa ant la plancia scond T dla sfera ëd sènter 0 e raj 1 d'E.

Ës teorema a ìmplica che T a manda ansem duvert d' E an ansem duvert d'F, dont sò nòm. An efet, ch'as consìdera un sot-ansem duvert U d'E nen veuid e ch'as pija un pont y_0 \in T(U). Donca y_0=T(x_0) për chèich x_0 \in U. Antlora a esist r>0 tal che, denotà  \mathcal B_r(x_0) la sfera ëd sènter x_0 e raj r, un a l'ha  \mathcal B_r(x_0) \subseteq U, visadì x_0+ \mathcal B_r(0)\subseteq U. Antlora y_0+T( \mathcal B_r(0)) \subseteq T(U). Për l'ipòtesi,  \mathcal B_{rc}(0) \subseteq T( \mathcal B_r(0)), dont  \mathcal B_{rc}(y_0) \subseteq T(U) e T(U) a arzulta esse duvert.

Un corolari[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdero jë spassi ëd Banach E e F e n'operador linear continuo e bijetiv T:E \to F. Antlora T^{-1}:F \to E a l'é continuo.

Dimostrassion. Dal teorema, un a sa che për tuti j'x \in E taj che ||T(x)||<c un a l'ha ||x||<1. Për omogenità,

 \forall x \in E,||x|| \leq \frac 1c ||T(x)||,

donca T^{-1} a l'é continuo.

N'aplicassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera në spassi vetorial E dotà 'd norme ||x||_1 e ||x||_2 taj che E a sia në spassi ëd Banach rëspet a tute doe se norme. Butoma, an dzorpì, che

 \exists C \geq 0, \forall x \in E,||x||_2 \leq C||x||_1.

Antlora

 \exists c>0, \forall x \in E,||x||_1 \leq c||x||_2,

visadì le doe norme a son equivalente.

A basta an efet apliché ël corolari a jë spassi ëd Banach (E,|| \ ||_1),(E,|| \ ||_2) e a la fonsion identità.

La dimostrassion dël teorema[modìfica | modifiché la sorgiss]

A conven fé la dimostrassion an toi tòch:

1. Si T:E \to F a l'é n'operador linear e surietiv, antlora

 \exists c>0, \mathcal B_{2c}(0) \subseteq \overline{T( \mathcal B_1(0))}

2. Si T:E \to F a l'é n'operador linear continuo ch'a sodisfa sa dariera relassion, antlora

 \mathcal B_c(0) \subseteq T( \mathcal B_1(0)).

Dimostrassion dla prima part[modìfica | modifiché la sorgiss]

Për tut n natural positiv, ch'as buta

X_n=n \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math>.

Dagià che T a l'é surietiv, a-i na ven che

F= \bigcup_{n=1}^{ \infty }X_n

e dal teorema ëd categorìa ëd Baire as treuva n_0 tal che

Int( \overline{T( \mathcal B_1(0))} ) \neq\emptyset .

Ch'as pijo antlora c>0,y_0 \in F taj che

 \mathcal B_{4c}(y_0) \subseteq \overline{T( \mathcal B_1(0))} .

An particolar, y_0 \in \overline{T( \mathcal B_1(0))} e, për simetrìa, ëdcò -y_0 \in \overline{T ( \mathcal B_1(0))} . An somand e tnisend da ment che  \overline{T( \mathcal B_1(0))} a l'é bombà, un a oten

 \mathcal B_{4c}(0) \subseteq \overline{T( \mathcal B_1(0))} + \overline{T( \mathcal B_1(0))} =2 \overline{T( \mathcal B_1(0))} ,

dont la tesi.

Dimostrassion dla sconda part[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as fissa y \in F con ||y||<c, con ël but ëd trové x \in E tal che ||x||<1 e T(x)=y.
Da la condission admetùa, un a l'ha che

 \forall\varepsilon >0, \exists z \in E,||z||< \frac 12 \wedge ||y-T(z)||< \varepsilon .

An sernend  \varepsilon = \frac c2 un a treuva z_0 \in E tal che

||z_0||< \frac 12 e ||y-T(z_0)||< \frac c2 .

An aplicand l'istess rasonament con y-T(z_0) al pòst d'y e con  \varepsilon = \frac c4 , as treuva z_1 \in E tal che

||z_1||< \frac 14 e ||y-T(z_0)-T(z_1)||< \frac c4 .

An seghitand përparèj, un a fàbrica na sequensa z_n tal che

 \forall n \in \mathbb N ,||z_n||< \frac 1{2^{n+1}} e ||y-T( \sum_{i=0}^nz_i)||< \frac c{2^{n+1}} .

Donca la sequensa x_n= \sum_{i=0}^nz_i a l'é ëd Cauchy. Ch'as denòta con xlìmit. Antlora ||x||<1 e y=T(x) përchè T a l'é continuo.