Equassion diferensial

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

N'equassion diferensial a l'é n'equassion dont j'incògnite a son ëd fonsion e anté ch'a-i comparisso dle derivà ëd se fonsion rëspet a le variàbile indipendente (che ant j'aplicassion soèns a peulo arpresenté ël temp, le coordinà spassiaj e via fòrt).
Cand le fonsion incògnite a dipendo mach da un-a varàbila indipendenta, l'equassion diferensial as ciama ordinaria; si le variàbile indipendente a son ëd pì, l'equassion as ciama parsial.

L'arzolussion, o 'me ch'as dis ëdcò, l'antëgrassion ëd n'equassion diferensial a l'é 'n problema anteressant e soèns difìcil ant l'anàlisi matemàtica, ma j'equassion diferensiaj as deuvro soèns ëdcò ant la geometrìa, la fìsica, la chìmica.
Për esempi, l'equassion $y''+y=0$ a descriv la laj ëd moviment ëd na partissela ch'a bogia an sna reta, sogeta a l'atrassion, da 'n pont an sla reta, proporsional a la distansa dla partissela dal sènter d'atrassion. Ambelessì la variàbila indipendenta a arpresenta ël temp e y a l'é la posission rëspet al sènter. Për podèj determiné la posission ëd la partissela an minca moment a venta trové na fonsion y ch'a sodisfa l'equassion, visadì a venta arzòlvla.

Equassion diferensiaj ordinarie

Na prima qualità d'equassion diferensial ordinaria a l'é cola ch'as rëncontra ant l'arserca dle primitive 'd na fonsion f continua ansima a l'antërval [a,b] dla reta real. As trata ëd trové le solussion ëd n'equassion dla forma y'=f(x), anté che y a l'é la fonsion incògnita. Dal càlcol antëgral as conòss che le solussion dl'equassion a son tute cole fonsion, e mach coste, $F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt+c$ anté che $x_{0}$ a l'é 'n pont qualsëssìa an [a,b] e c a l'é na qualsëssìa costanta real.

N'equassion diferensial ordinaria d'órdin n a l'é n'equassion ëd la forma $F(x,y,y',\ldots ,y^{(n)})=0$ , anté che F a l'é na fonsion d'n+2 argoment, con x variàbil indipendenta e y=y(x) fonsion incògnita. Si l'equassion general a peul esplicitesse rëspet a la derivà d'órdin pì grand $y^{(n)}$ , visadì s'as peul ëscrive ant la forma $y^{(n)}=f(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)})$ , costa forma as ciama normal e ël passage për oten-e costa forma as dis normalisassion.
Për esempi, si l'equassion $F(x,y,y',\ldots ,y^{(n)})=0$ a sodisfa ël teorema ëd Dini, antlora as peul normalisesse.

Ch'as consìdera n'equassion normalisà $y^{(n)}=f(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)})$ . As peul mostresse che si f a l'é definìa an n'anviron I d'un pont $P_{0}=(x_{0},y_{0},y'_{0},\ldots ,y_{0}^{(n-1)})$ e si f e soe derivà parsiaj rëspet a $y,y',\ldots ,y^{(n-1)}$ a son continue an I, antlora a-i é un nùmer $\delta >0$ tal ch'a esist mach un-a fonsion y=y(x), continua chila e soe derivà fin-a a l'órdin n ant l'antërval $[x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ]$ , ch'a l'é solussion dl'equassion diferensial e ch'a sodisfa le condission $y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},\ldots ,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{0}^{(n-1)}$ .
Parèj, pijà dij valor $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n-1}$ assè davzin a $y_{0},y'_{0},\ldots ,y_{0}^{(n-1)}$ da fé an manera che 'l pont $(x_{0},c_{0},\ldots ,c_{n-1})$ a resta ancor anterior a I, da la proprietà pen-a smonùa a-i ven che a-i é un $\delta '>0$ tal che ant l'antërval $[x_{0}-\delta ',x_{0}+\delta ']$ a-i é mach na solussion ch'a verìfica le condission $y(x_{0})=c_{0},y'(x_{0})=c_{1},\ldots ,y^{(n-1)}(x_{0})=c_{n-1}$ . Costa solussion $y=y(x,c_{0},\ldots ,c_{n-1})$ a dipend donca da la sèrnia dj'n costante $c_{0},\ldots ,c_{n-1}$ an d'anviron assè cit d' $y_{0},y'_{0},\ldots ,y_{0}^{(n-1)}$ .
Parèj, an n'anviron d' $x_{0}$ , la solussion general dl'equassion (l'ansidit antëgral general) a dipend da n costante, ciamà costante d'antëgrassion.
Cand la solussion a l'é considerà mach an n'antërval $[x_{0},x_{0}+\delta ]$ , le condission $y^{(i)}(x_{0})=c_{i}$ a pijo ël nòm ëd condission inissiaj.

L'antëgral general ëd n'equassion $F(x,y,y',\ldots ,y^{(n)})=0$ a l'é n'ugualiansa dla forma $G(x,y,C_{1},\ldots ,C_{n})=0$ (equassion an termo finì) - equivalenta a l'equassion diferensial ëd partensa - ch'a peul conten-e, an dzorpì dla variàbil indipendenta x e dla fonsion incògnita y, ëdcò n costante $C_{1},\ldots C_{n}$ , dont ij valor as peulo serne an d'antërvaj $I_{1},\ldots ,I_{n}$ an manera che për minca sequensa dij valor ëd se costante a-i sia un-a e mach un-a fonsion ch'a sodisfa l'ugualiansa.

Considerà n'equassion normalisà $y^{(n)}=f(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)})$ , si f a verìfica la condission ëd Lipschitz, as peul mostresse l'esistensa e l'unicità dl'antëgral general $y=y(x,C_{1},\ldots ,C_{n})$ .

L'antëgral general a arpresenta na famija ëd curve ant ël pian ch'a dipendo da n paràmeter; minca curva dla famija a l'é ciamà curva antëgral e soa equassion a arpresenta na solussion dl'equassion diferensial. Për determiné j'antëgraj particolar, visadì le vàire solussion particolar, a venta assigné 'd valor a le costante $C_{1},\ldots ,C_{n}$ . Sòn as peul fesse an amponend che la solussion y(x) e soe prime n-1 derivà a l'abio, ant un pont $x_{0}$ , dij valor ëstabilì (problema ëd Cauchy).

Métod d'antëgrassion aprossimà

Dagià che soens as riess pà a calcolé 'd fasson esplìcita le solussion ëd n'equassion diferensial ordinaria, as son dësvlupasse ëd métod d'antëgrassion aprossimà, dont l'usage a l'é dventà pì bel fé con l'agiut dij cabalisator.

Esempi d'equassion diferensiaj ordinarie

La forma general dl'equassion dël prim órdin a l'é F(x,y,y')=0.
N'equassion diferensial dël prim órdin an forma normal a l'é dël tipo general y'=f(x,y).
Equassion a variàbij separà.
Equassion diferensiaj esate.
Equassion diferensial d'Euler.
Equassion diferensial ëd Jacobi
Equassion diferensial ëd Legendre.
Equassion ëd Bessel.
Equassion ëd Clairaut.
Equassion ëd d'Alembert-Lagrange.
Equassion ëd Jakob Bernoulli.
Equassion ëd Riccati.
Equassion linear.
Equassion omogenie.

Equassion diferensiaj parsiaj

L'órdin ëd n'equassion diferensial parsial a l'é l'órdin pì grand dle derivà parsiaj dle fonsion incògnite ch'a comparisso ant l'equassion. La forma pì general ëd n'equassion diferensial parsial an na sola fonsion incògnita as oten an butand ugual a zero na fonsion dle variàbile indipendente x,y,..., dla variàbila dipendenta z e 'd soe derivà parsiaj, ëd vàire órdin. Për esempi, n'equassion diferensial parsial as dis linear si costa fonsion a l'é un polinòmi ëd prim gré ant la fonsion incògnita e soe derivà, dont ij coefissient a peulo dipende da le variàbile indipendente.

La determinassion dl'antëgral general ëd n'equassion diferensial parsial a l'é soèns motobin complicà o bele impossìbil. Parèj la teorìa dj'equassion diferensiaj parsiaj as propon dzortut ëd determiné si n'equassion dàita a l'ha 'd solussion e vàire ch'a-i na son ch'a sodisfo dle condission inissiaj o al bòrd. Da sa mira, j'equassion pì studià a son cole linear dlë scond órdin.

La teorìa dj'equassion diferensiaj parsiaj a l'ha contribuì a motivé vàire dësvlup ëd l'anàlisi matemàtica.

Esempi d'equassion diferensiaj parsiaj