Logaritm

Ël logaritm a l'é na fonsion matemàtica ch'a definiss l'esponent necessari për otnì un nùmer dàit an partend da na base specìfica. Formalment, ël logaritm ëd un nùmer a an base b (scrivù log_b a) a l'é l'esponent c tal che b^c=a. Ij logaritm a son l'operassion inversa dl'esponensial e a son dovrà an vàire camp, da la fìsica a la finansa. Le base pi comùn a son 10 (logaritm comun), e (logaritm natural, andova e ≈ 2,718) e 2 (logaritm binari).

Stòria

L'origin dij logaritm a armonta al sécol ch'a fa XVII. Dël 1614, John Napier (Giovanni Napier an piemontèis) a l'ha publicà ël prim travaj ansima ai logaritm, an facilitand ij càlcoj complicà ëd l'época. Pì tard, Henry Briggs a l'ha standardisà ij logaritm an base 10, ch'a son ëstàit dovrà ant le tàule logarìtmiche për sécoj. Ant ël sécol ch'a fa XVIII, Leonhard Euler a l'ha colegà ij logaritm con la fonsion esponensial, definend ln(a) (logaritm natural) coma l'antëgràl ëd 1/x.

Descrission

Ël logaritm a risòlv l'equassion b^c=a, visadì a dà l'esponent c ch'a deuv aplichesse a la base b për otnì a. Esempi:

• log₁₀ 1000 = 3 (përchè 10³ = 1000).
• log₂ 8 = 3 (përchè 2³ = 8).
• log(e⁵) = 5 (logarithm natural).

Ij logaritm a l'han propietà ch'a semplifico ij càlcoj:

1. log_b(xy) = log_bx + log_by (logaritm d'un prodot).
2. log_b(x/y) = log_bx - log_by (logaritm d'un quossient).
3. log_b(x^k) = k log_bx (logaritm d'una potensa).
4. Cambi 'd base: log_ba = log_ka / log_kb.

Proprietà

• Dominì: La fonsion logaritmica a esiste mach për a > 0 e b > 0, b <> 1.
• Comportament: La fonsion a l'é sempe chërsenta se b > 1 e sempe calanta se 0 < b < 1. A l'ha n'asintòt vertical an x=0.
• Valor speciaj:
  • log_b1 = 0 (përchè b⁰ = 1).
  • log_bb = 1 (përchè b¹ = b).

Aplicassion

Ij logaritm a son dovrà ant:

• Siensa: Për descrive fenòmen esponensiaj (es. degradament radioativ, chërsita dij bateri).
• Ingegnerìa: An eletrònica për ij decibel (dB), ch'a mzuro ël rapòrt ëd potensa.
• Informàtica: Ant j'algoritm për valuté l'eficiensa (notassion O(log n)).
• Mùsica: Për definì j'antërval ant la scala dij ton (es. una otava a l'é un rapòrt ëd 2:1).
• Finansa: Për modelé l'anteresse compost e l'andament dij mërcà.

Vardé ëdcò

Fonsion esponensial

Arferiment

Napier, J. (1614). Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio.

Briggs, H. (1617). Logarithmorum Chilias Prima.

Euler, L. (1748). Introductio in analysin infinitorum.