Teorìa dj'ansem ëd Bernays-Gödel

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


La teorìa dj'ansem ëd Bernays-Gödel BG (BGC an giontand-je l'assiòma ëd selession) a l'é n'assiomatisassion alternativa dla teorìa dj'ansem. Sò studi a l'é ancaminà con un travaj ëd Bernays dël 1937 e soa elaborassion a l'ha seghità fin-a al 1948. An costa teorìa a-i son doe qualità d'oget: j'ansem (denotà da litre minùscule) e le classe (denotà con litre majùscole). J'assiòma ëd BG a son:

  1. Assiòma d'estensionalità: \forall u \ (u \in X \leftrightarrow u \in Y) \rightarrow X=Y.
  2. Minca ansem a l'é na classa.
  3. Si X \in Y, antlora X a l'é n'ansem.
  4. Assiòma dla cobia: Per tuti j'ansem a e b a-i é l'ansem  \{ a,b \} .
  5. Prinsipi ëd comprension: Si  \varphi a l'é na fórmola ch'a l'ha gnun-e variàbij ëd classa quantificà, antlora  \forall X_1, \ldots , X_n \exists Y \ Y= \{ x \mid \varphi (x,X_1, \ldots ,X_n) \} .
  6. Assiòma dl'infinì: A-i é n'ansem infinì.
  7. Assiòma dl'union: Për minca ansem x a-i é l'ansem union  \bigcup x.
  8. Assiòma dl'ansem potensa: Për minca ansem x a-i é l'ansem potensa  \mathcal P (x).
  9. Assiòma ëd rampiass: Si F a l'é na fonsion e x a l'é n'ansem, antlora  \{ F(z) \mid z \in x \} a l'é n'ansem.
  10. Assiòma ëd regolarità: Minca ansem nen veuid a l'ha n'element minimal për la relassion d'apartenensa.

La teorìa BGC a s'oten an giontand-je:

11. Assiòma ëd selession: A-i é na fonsion F tal che  F(x) \in x per minca ansem x ch'a sia nen veuid.

Da già che tuti j'assiòma dla teorìa dj'ansem ZF a son dimostràbij an BG, tuti ij teorema ëd ZF a son ëdcò teorema ëd BG, e l'istess për ZFC e BGC.
D'àotra part un teorema ëd Shoenfield publicà dël 1954, ch'a deuvra ëd técniche ëd teorìa dla dimostrassion, a fa vëdde che n'enonsià ch'a conten mach variàbij d'ansem dimostràbil an BG a l'é 'dcò dimostràbil an ZF. An dovrand técniche ëd forsament, as vëd che sòn a resta vera an tra le teorìe BGC e ZFC.