Criteri ëd Leibniz

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ël criteri ëd Leibniz (ciamà ëdcò criteri dle serie alternà) a fortiss che si u_n a l'é na sequensa dla forma u_n=(-1)^nv_n, anté che v_n a l'é na sequensa infinitésima ëd reaj positiv con v_{n+1} \leq v_n, antlora la serie \sum_{i=0}^{\infty}u_i a convergg.

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as denota A_n= \sum_{i=0}^n(-1)^iv_i. Antlora:

A_{2n+2}=A_{2n}-v_{2n+1}+v_{2n} \leq A_{2n};
A_{2n+3}=A_{2n+1}+v_{2n+2}-v_{2n+3} \geq A_{2n+1};
A_{2n+2}-A_{2n+1}=a_{2n+2} \rightarrow 0.

Donca A_{2n} e A_{2n+1} a son ëd sequense reaj monoton-e, limità, con ël midem lìmit, ch'a l'é la soma dla serie.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Si 0<x \leq 1, la serie  \sum_{i=1}^{ \infty } (-1)^{i-1} \frac{x^i}i a convergg. An efet, për la fórmola ëd Taylor-Lagrange,  \ln (1+x)=x- \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \ldots + \frac{(-1)^{n-1}}n \frac 1{(1+c)^n} x^n, për chèich c con 0<c<x. Donca, an butand x=1, as treuva  \sum_{i=1}^{ \infty } (-1)^{i-1} \frac 1i = \ln 2.
  • La serie  \sum_{i=1}^{ \infty } (-1)^{i-1} \frac 1i a convergg. As ciama serie armònica a sign alternà.