Criteri ëd d'Alembert

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Ch'as consìdera na sequensa $(u_{n})$ ëd nùmer reaj positiv.
Ël criteri ëd d'Alembert (o criteri dël rapòrt) a fortiss che s'a esist un nùmer λ<1 tal che a parte d'un chèich ìndes a val la relassion ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}<\lambda$ , la serie $\sum u_{n}$ a convergg; si, a ancaminé da 'n chèich ìndes, ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq 1$ , antlora la serie a divergg.
An particolar, si $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}<1$ , antlora i l'oma convergensa; si $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}>1$ i l'oma divergensa.

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Butoma che $\forall n\geq m,{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}<\lambda <1$ ; sòn a veul dì che $u_{n+1}<\lambda u_{n}$ e donca che $\forall h,u_{m+h}<\lambda ^{h}u_{m}$ . Dagià che la serie geométrica ëd rason λ<1 a convergg, për ël criteri dël confront ëdcò la serie $\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}$ a convergg.
Noté che ant ës cas-sì la soma dla serie a l'é limità da 'dzora da $\sum _{n=0}^{m-1}u_{n}+{\frac {u_{m}}{1-\lambda }}$ .

D'àutra part, si $\forall n\geq m,{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq 1$ , antlora a ancaminé da l'ìndes m la sequensa $u_{n}$ a l'é nen dechërsenta e donca nen infinitésima. Parèj, la serie a divergg.