Fórmola d'Eron

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

La fórmola d'Eron a serv për la determinassion ëd l'àrea d'un triàngol. Costa fórmola a l'era già conossùa da Archimede, ch'a l'é belfé ch'a l'èissa dimostrala, ma la prima documentassion pr'ëscrit ch'i n'oma a l'é da n'euvra d'Eron, Métrica. Consìderoma un triàngol ABC e ciamoma a, b e c le bande opòste ai vértes A, B e C, rispetivaman. Ciamoma ëdcò α l'àngol an A. Denotoma con h l'autëssa relativa a la banda c. Si S a l'é la surfassa dël triàngol, i l'oma $S={\frac {1}{2}}ch={\frac {1}{2}}cb\sin \alpha =$$S={\frac {1}{2}}ch={\frac {1}{2}}cb\sin \alpha =$ $={\frac {1}{2}}cb{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}=$$={\frac {1}{2}}cb{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}=$ $={\frac {1}{2}}cb{\sqrt {(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )}}$$={\frac {1}{2}}cb{\sqrt {(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )}}$. An rampiassand cosα con ël valor ësmonù dal teorema dël cosen, visadì $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$$\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$, i otnoma $S={\frac {1}{2}}bc{\sqrt {(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}})(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}})}}=$$S={\frac {1}{2}}bc{\sqrt {(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}})(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}})}}=$ $={\frac {1}{2}}bc{\sqrt {{\frac {2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2bc}}{\frac {2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}}=$$={\frac {1}{2}}bc{\sqrt {{\frac {2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2bc}}{\frac {2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}}=$ $={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-a^{2})}}=$$={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-a^{2})}}=$ $={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}}$$={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}}$. Si adess i andicoma con 2p ël perìmeter dël triàngol, visadì a+b+c=2p, i l'oma j'ugualianse a+b-c=2(p-c), a-b+c=2(p-b) e b+c-a=2(p-a). Rampiassand costi valor ant la fórmola otnùa sì-dzora, i trovoma la fórmola d'Eron sërcà: $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(p-c)2(p-b)2(p-a)2p}}=$$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(p-c)2(p-b)2(p-a)2p}}=$ $={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$.

Aiuto per la lettura Ayuda para la lectura Help for Reading Rintré ant la Piòla Contaté j'Aministrator Lìber për Amprende Coression ortogràfica Tastadura piemontèisa Portaj e Proget Agiut pr'ij Contributor Travajòt sempi