Lema ëd Riesz

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Ël lema ëd Riesz a fortiss che si E a l'é në spassi vetorial normà e M a l'é 'n sot-ëspassi sarà d'E, con $M\neq E$ , antlora

\forall \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+},\exists {\vec {u}}\in E\mid ||{\vec {u}}||=1\wedge d({\vec {u}},M)\geq 1-\varepsilon

.

La dimostrassion

Ch'as consìdera n'element ${\vec {v}}\in E-M$ . Dagià che M a l'é sarà, la distansa $d=d({\vec {v}},M)$ a l'é positiva. Ch'as serna ${\vec {m_{0}}}\in M$ tal che

d\leq ||{\vec {v}}-{\vec {m_{0}}}||\leq {\frac {d}{1-\varepsilon }}

.

Antlora

{\vec {u}}={\frac {1}{||{\vec {v}}-{\vec {m_{0}}}||}}({\vec {v}}-{\vec {m_{0}}})

a sodisfa la condission. An efet, pijà ${\vec {m}}\in M$ , a val

||{\vec {u}}-{\vec {m}}||=||{\frac {1}{||{\vec {v}}-{\vec {m_{0}}}||}}({\vec {v}}-{\vec {m_{0}}})-{\vec {m}}||\geq 1-\varepsilon

,

dagià che

{\vec {m_{0}}}+||{\vec {v}}-{\vec {m_{0}}}||{\vec {m}}\in M

.

Osservassion

Si M a l'é arflessiv, la conclusion dël lema a val ëdcò con $\varepsilon >0$ . Sòn a l'é nen vera ant ël cas general.