Régola ëd Cauchy

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

La régola ëd Cauchy, o criteri dla rèis, a l'é un criteri për la convergensa dle serie. Ch'as considera na sequensa $a_{n}$ ëd nùmer reaj positiv e ch'as denòta $L=\limsup _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{\frac {1}{n}}$. Antlora la régola ëd Cauchy a fortiss che si L<1 la serie $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ a convergg e si L>1 la serie a divergg. La dimostrassion An efet, ant ël prim cas i l'oma che, a la finitiva, la serie a l'é magiorà da la serie geométrica $\sum _{n=1}^{\infty }(L+\delta )^{n}$, con $L+\delta <1$, ch'a convergg; ant lë scond cas, $u_{n}\geq 1$ për na quantità infinìa d'ìndes n e donca ël tèrmin general a l'é nen infinitésim e la serie a divergg. An particolar a-i na ven che si $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}<1$, antlora la serie $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ a convergg; antant che si $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}>1$, antlora la serie a divergg. Noté che si cost lìmit a-i é ma a l'é 1, as peul disse gnente a propòsit dla convergensa dla serie. Esempi Consideroma la serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{8}}+\ldots$ visadì $a_{k}=\left\{{\begin{array}{lcl}({\frac {1}{2}})^{\frac {k+3}{2}},&k{\mbox{ dëscobi}}\\({\frac {1}{2}})^{\frac {k}{2}},&n{\mbox{ cobi}}\end{array}}\right.$. Donca $\lim _{k\rightarrow \infty }{\sqrt[{k}]{a_{k}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}<1$ e la serie a convergg. Fissoma un nùmer $x\geq 0$ qualsëssìa e consideroma la serie $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(\log n)^{n}}}$. Dagià che $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x^{n}}{\log n}}=0$, la serie a convergg. Consideroma la serie armònica $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$. I l'oma $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n}}}=1$ ma la serie a divergg. Consideroma la serie $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$. I l'oma $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n^{2}}}}=1$ ma la serie a convergg.

Aiuto per la lettura Ayuda para la lectura Help for Reading Rintré ant la Piòla Contaté j'Aministrator Lìber për Amprende Coression ortogràfica Tastadura piemontèisa Portaj e Proget Agiut pr'ij Contributor Travajòt sempi