Teorema ëd Hahn-Banach

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Forma analìtica

La forma analìtica dël teorema ëd Hahn-Banach a rësguarda lë slongament ëd forme linear.

Consideroma në spassi vetorial E ansima a $\mathbb {R}$ e na fonsion $p:E\to \mathbb {R}$ ch'a l'abia le propietà:

p(λx)=λp(x) për minca $x\in E$ e minca λ>0;
$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ .

Ch'a consìdero peui un sot-ëspassi vetorial $G\subseteq E$ e na forma linear $g:G\to \mathbb {R}$ tal che $g(x)\leq p(x)$ për minca $x\in G$ .
Antlora a esist na forma linear f definìa ansima a E e ch'a slonga g, visadì tal che g(x)=f(x) për minca $x\in G$ , con la propietà che $\forall x\in E,f(x)\leq p(x)$ .

La dimostrassion

La dimostrassion d'ës teorema a deuvra ël lema ëd Zorn.

Ch'as consìdera l'ansem P ëd tute le forme linear h con domini un sot-ëspassi vetorial d'E ch'a slongo g e ch'a l'ha la propietà che, për tuti j'x an sò domini, $h(x)\leq p(x)$ . An s'ansem definioma na relassion d'órdin an butand $h_{1}\leq h_{2}$ si e mach si $h_{2}$ a slonga $h_{1}$ . I l'oma che P a l'é nen veuid, dagià che $g\in P$ .
Verificoma che P a l'é n'asem andutiv. Për sòn, pijoma na caden-a Q e definioma na fonsion h con domini l'union ëd tuti ij domini dj'element ëd P e con valor h(x)=k(x) për qualsëssìa $k\in Q$ ch'a l'abia x an sò domini. Dagià che Q a l'é na caden-a, costa definission a l'ha 'd sust e h a l'é 'n magiorant ëd l'ansem Q. Për ël lema ëd Zorn, ciamoma f n'element massimal ëd P. A basta antlora fé vëdde che ël domini F d'f a l'é tut E.
Si sòn a fussa nen vera, pijoma $x_{0}\in E-F$ . Consideroma ël sot-ëspassi $D=F\oplus {\mathcal {L}}(x_{0})$ . I voroma definì na fonsion h con domini D an butand $h(x+tx_{0})=f(x)+t\alpha$ për minca x an F e minca nùmer real t. Ma i voroma ëdcò che $h\in P$ , visadì che

f(x)+t\alpha \leq p(x+tx_{0})

për minca $x\in F$ e $t\in \mathbb {R}$ . Për sòn a basta avèj le disugualianse

f(x)+\alpha \leq p(x+x_{0})

e

f(x)-\alpha \leq p(x-x_{0})

.

Ma antlora a basta serne α an manera che

\sup _{y\in F}\{f(y)-p(y-x_{0})\}\leq \alpha \leq \inf _{x\in F}\{p(x+x_{0})-f(x)

,

lòn ch'a l'é possìbil, dagià che për minca $x,y\in F$ i l'oma

f(y)-p(y-x_{0})\leq p(x+x_{0})-f(x)

mersì a le relassion

f(x)+f(y)\leq p(x+y)\leq p(x+x_{0})+p(y-x_{0})

ch'an ven-o j'ipòtesi ansima a p.

Forme geométriche

Ch'as consìdera në spassi vetorial normà E e doi sot-ansem bombà A e B d'E, nen veuid e disgionzù.

Prima forma geométrica

Suponoma che A a sia duvert. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens largh, visadì

\forall x\in A,\forall y\in B,f(x)\leq \alpha \leq f(y)

.

Sconda forma geométrica

Suponoma che A a sia sarà e B a sia compat. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens ës-ciass, visadì

\forall x\in A,\forall y\in B,f(x)<\alpha <f(y)

.

Aplicassion

Ël teorema ëd Hahn-Banach a l'ha vàire aplicassion, për esempi ël teorema ëd Krein-Milman.