Teorema ëd Hahn-Banach

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.


Forma analìtica[modìfica | modifiché la sorgiss]

La forma analìtica dël teorema ëd Hahn-Banach a rësguarda lë slongament ëd forme linear.

Consideroma në spassi vetorial E ansima a e na fonsion ch'a l'abia le propietà:

  • p(λx)=λp(x) për minca e minca λ>0;
  • .

Ch'a consìdero peui un sot-ëspassi vetorial e na forma linear tal che për minca .
Antlora a esist na forma linear f definìa ansima a E e ch'a slonga g, visadì tal che g(x)=f(x) për minca , con la propietà che .

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

La dimostrassion d'ës teorema a deuvra ël lema ëd Zorn.

Ch'as consìdera l'ansem P ëd tute le forme linear h con domini un sot-ëspassi vetorial d'E ch'a slongo g e ch'a l'ha la propietà che, për tuti j'x an sò domini, . An s'ansem definioma na relassion d'órdin an butand si e mach si a slonga . I l'oma che P a l'é nen veuid, dagià che .
Verificoma che P a l'é n'asem andutiv. Për sòn, pijoma na caden-a Q e definioma na fonsion h con domini l'union ëd tuti ij domini dj'element ëd P e con valor h(x)=k(x) për qualsëssìa ch'a l'abia x an sò domini. Dagià che Q a l'é na caden-a, costa definission a l'ha 'd sust e h a l'é 'n magiorant ëd l'ansem Q. Për ël lema ëd Zorn, ciamoma f n'element massimal ëd P. A basta antlora fé vëdde che ël domini F d'f a l'é tut E.
Si sòn a fussa nen vera, pijoma . Consideroma ël sot-ëspassi . I voroma definì na fonsion h con domini D an butand për minca x an F e minca nùmer real t. Ma i voroma ëdcò che , visadì che

për minca e . Për sòn a basta avèj le disugualianse

e
.

Ma antlora a basta serne α an manera che

,

lòn ch'a l'é possìbil, dagià che për minca i l'oma

mersì a le relassion

ch'an ven-o j'ipòtesi ansima a p.

Forme geométriche[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera në spassi vetorial normà E e doi sot-ansem bombà A e B d'E, nen veuid e disgionzù.

Prima forma geométrica[modìfica | modifiché la sorgiss]

Suponoma che A a sia duvert. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens largh, visadì

.

Sconda forma geométrica[modìfica | modifiché la sorgiss]

Suponoma che A a sia sarà e B a sia compat. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens ës-ciass, visadì

.

Aplicassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ël teorema ëd Hahn-Banach a l'ha vàire aplicassion, për esempi ël teorema ëd Krein-Milman.