Teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Ij teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral a son tre teorema (teorema ëd B. Levi o dla convergensa monoton-a, lema ëd Fatou, teorema dla convergensa dominà ëd Lebesgue) ch'a smon-o ëd condission për che ël lìmit ëd na sequensa ëd fonsion antëgràbij a sia antëgràbil. Mincadun ëd si teorema a l'é consegoensa ëd col ch'a-i ven prima.

An tuti j'enonsià ch'a ven-o sì da press, $(X,\Sigma ,\mu )$ a l'é në spassi dë mzura.

Teorema ëd B. Levi

Ël teorema ëd Beppo Levi a l'é stàit dimostrà da Beppo Levi an n'artìcol dël 1906.

Si $(f_{n})$ a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij ansima a $X$ con la proprietà che për minca $n\in \mathbb {N}$ a sia $f_{n}\leq f_{n+1}$ squasi daspërtut e che $\sup _{n\in \mathbb {N} }\int f_{n}$ a sia finì, antlora la fonsion $f$ limit pontoal dla sequensa a l'é antëgràbil e sò antëgral a resta $\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}$ .

La dimostrassion

Ancaminoma a traté ël cas $f_{0}=0$ scasi daspërtut e ch'a sia $c=\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}$ . Ch'as pija n'ansem co-trascuràbil E anté che $f_{0}=0$ e $f_{n}\leq f_{n+1}$ .

Fissà a>0 e $n\in \mathbb {N}$ , l'ansem $H_{n}(a)=\{x\in E\mid f_{n}(x)\geq a\}$ a l'é mzuràbil e $H_{n}(a)\subseteq H_{n+1}(a)$ . An dzorpì, $a\chi _{H_{n}(a)}\leq f_{n}$ ansima a E, anté che $\chi _{A}$ a l'é la fonsion caraterìstica dl'ansem A. Donca

a\mu [H_{n}(a)]=\int a\chi _{H_{n}(a)}\leq \int f_{n}\leq c

.

Ch'as consìdera $H(a)=\cup _{n}H_{n}(a)$ . A-i na ven che

\mu [H(a)]=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu [H_{n}(a)]\leq {\frac {c}{a}}

e parèj $\mu [H(a)]$ a l'é finì. Dagià che

\mu [\cap _{k\geq 1}H(k)]\leq \inf _{k\geq 1}\mu [H(k)]\leq \inf _{k\geq 1}{\frac {c}{k}}=0

,

l'ansem $F=E\setminus \cap _{k\geq 1}H(k)$ a l'é co-trascuràbil.

Si $x\in F$ , antlora $x\notin H(k)$ për chèich k, visadì $x\notin \cup _{n}H_{n}(k)$ e parèj $f_{n}(x)<k$ për minca n. Dagià che la sequensa $(f_{n}(x))_{n}$ a l'é nen dechërsenta, $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)\in \mathbb {R}$ e la fonsion f a l'é definìa scasi daspërtut e a l'é mzuràbil.
Për minca $\epsilon >0$ , $\{x\in F\mid f(x)\geq \epsilon \}\subseteq H\left({\frac {1}{2}}\epsilon \right)$ , donca $\{x\in F\mid f(x)\geq \epsilon \}$ a l'ha mzura finìa.

Adess, pijoma na fonsion sempia g tal che $g\leq f$ scasi daspërtut e foma cont che g a sia limità dëdzora da M. Armarcoma che $H=\{x\mid g(x)\neq 0\}$ a l'ha mzura finìa. Fissoma ëdcò $\epsilon >0$ e scrivoma $G_{n}=\{x\in F\mid g(x)-f_{n}(x)\geq \epsilon \}$ . Antlora minca $G_{n}$ a l'é mzuràbil e $G_{n+1}\subseteq G_{n}$ ; l'antërsession ëd costa sequensa a l'é

\{x\in F\mid g(x)\geq \epsilon +\sup _{n\in \mathbb {N} }f_{n}(x)\}\subseteq \{x\in F\mid g(x)<f(x)\}

,

ch'a l'é trascuràbil. D'àutra part $\mu (G_{0})<+\infty$ . Ëd conseguensa, $\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (G_{n})=0$ . Ch'as pija n tal che $\mu (G_{n})\leq \epsilon$ . A-i na ven che

g\leq f_{n}+M\chi _{g_{n}}+M\chi _{X\setminus E}+\epsilon \chi _{H}

e donca

\int g\leq \int f_{n}+M\mu (G_{n})+M\mu (H\setminus E)+\epsilon \mu (H)\leq c+\epsilon [M+\mu (H)]

,

lòn ch'a dà $\int g\leq c$ .

Da sòn a-i ven che la restrission $f|_{E}\geq 0$ a l'é antëgràbil e sò antëgral a l'é pà pì che c. Da già che $f=f|E$ scasi daspërtut, ëdcò f a l'é antëgràbil, con ël midem antëgral. D'àutra part, për minca $n\in \mathbb {N}$ , $f\geq f_{n}$ scasi daspërtut, e parèj $\int f\geq \sup _{n\in \mathbb {N} }\int f_{n}=c$ .
Sòn a completa la dimostrassion cand $f_{0}=0$ scasi daspërtut.

Për ël cas general, ch'as considera la sequensa $f'_{n}=f_{n}-f_{0}$ .

Lema ëd Fatou

Consideroma na sequensa $f_{n}$ ëd fonsion reaj antëgràbij dzora $X$ anté che minca $f_{n}$ a sia squasi daspërtut nen negativa e $\liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}<+\infty$ . Antlora la fonsion $\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ a l'é antëgràbil e $\int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}$ .

La dimostrassion

Ch'as pija $c=\lim \inf _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ . Për minca $n\in \mathbb {N}$ , ch'as considera n'ansem $E_{n}$ co-trascuràbil, anté che $f'_{n}=f_{n}|_{E_{n}}$ a sia mzuràbil e nen negativa e ch'a sia $g_{n}=\inf _{m\geq n}f'_{m}$ . Antlora, minca $g_{n}$ , ansima a l'ansem co-trascuràbil $\cap _{m\geq n}E_{m}$ a l'é mzuràbil e nen negativa, e $g_{n}\leq f_{n}$ scasi daspërtut; donca $g_{n}$ a l'é antëgrabil con $\int g_{n}\leq \inf _{n\geq n}\int f_{m}\leq c$ . D'àutra part, $\forall x\in domg_{n},\ g_{n}(x)\leq g_{n+1}(x)$ , parèj la sequensa $g_{n}$ a sodisfa le condission dël teorema ëd Beppo Levi; parèj $g=\lim _{n\rightarrow \infty }g_{n}$ a l'é antëgràbil, con $\int g=\lim _{n\rightarrow \infty }\int g_{n}\leq c$ . Dagià che $f'_{n}=f_{n}$ scasi daspërtut, a-i na ven che $g=\liminf _{n\rightarrow \infty }f'_{n}=f$ scasi daspërtut, e $\int f$ a esist e a fa $\int g\leq c$ .

Teorema ëd Lebesgue dla convergensa dominà

Si $f_{n}$ a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij dzora $X$ , si $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ a esist finì pr'ësquasi tuti j' $x\in X$ e si a-i é na fonsion antëgràbil $g$ con $|f_{n}|\leq g$ squasi daspërtut për minca $n\in \mathbb {N}$ , antlora $f$ a l'é na fonsion antëgràbil e $\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}$ a esist e a l'é ugoal a $\int f$ .

La dimostrassion

Ch'as definissa ${\bar {f}}_{n}=f_{n}+g$ . Dagià che $0\leq {\bar {f}}_{n}\leq 2g$ , a-i na ven che $c=\liminf _{n\rightarrow \infty }\int {\bar {f}}_{n}\in \mathbb {R}$ , e ${\bar {f}}=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\bar {f}}_{n}$ a l'é antëgràbil, con $\int {\bar {f}}\leq c$ , për ël lema ëd Fatou. D'àutra part, $f={\bar {f}}-g$ scasi daspërtut; parèj f a l'é antëgràbil, con