Teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.


Ij teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral a son tre teorema (teorema ëd B. Levi o dla convergensa monoton-a, lema ëd Fatou, teorema dla convergensa dominà ëd Lebesgue) ch'a smon-o ëd condission për che ël lìmit ëd na sequensa ëd fonsion antëgràbij a sia antëgràbil. Mincadun ëd si teorema a l'é consegoensa ëd col ch'a-i ven prima.

An tuti j'enonsià ch'a ven-o sì da press, a l'é në spassi dë mzura.

Teorema ëd B. Levi[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ël teorema ëd Beppo Levi a l'é stàit dimostrà da Beppo Levi an n'artìcol dël 1906.

Si a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij ansima a con la proprietà che për minca a sia squasi daspërtut e che a sia finì, antlora la fonsion limit pontoal dla sequensa a l'é antëgràbil e sò antëgral a resta .

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ancaminoma a traté ël cas scasi daspërtut e ch'a sia . Ch'as pija n'ansem co-trascuràbil E anté che e .

Fissà a>0 e , l'ansem a l'é mzuràbil e . An dzorpì, ansima a E, anté che a l'é la fonsion caraterìstica dl'ansem A. Donca

.

Ch'as consìdera . A-i na ven che

e parèj a l'é finì. Dagià che

,

l'ansem a l'é co-trascuràbil.

Si , antlora për chèich k, visadì e parèj për minca n. Dagià che la sequensa a l'é nen dechërsenta, e la fonsion f a l'é definìa scasi daspërtut e a l'é mzuràbil.
Për minca , , donca a l'ha mzura finìa.

Adess, pijoma na fonsion sempia g tal che scasi daspërtut e foma cont che g a sia limità dëdzora da M. Armarcoma che a l'ha mzura finìa. Fissoma ëdcò e scrivoma . Antlora minca a l'é mzuràbil e ; l'antërsession ëd costa sequensa a l'é

,

ch'a l'é trascuràbil. D'àutra part . Ëd conseguensa, . Ch'as pija n tal che . A-i na ven che

e donca

,

lòn ch'a dà .

Da sòn a-i ven che la restrission a l'é antëgràbil e sò antëgral a l'é pà pì che c. Da già che scasi daspërtut, ëdcò f a l'é antëgràbil, con ël midem antëgral. D'àutra part, për minca , scasi daspërtut, e parèj .
Sòn a completa la dimostrassion cand scasi daspërtut.

Për ël cas general, ch'as considera la sequensa .

Lema ëd Fatou[modìfica | modifiché la sorgiss]

Consideroma na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij dzora anté che minca a sia squasi daspërtut nen negativa e . Antlora la fonsion a l'é antëgràbil e .

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as pija . Për minca , ch'as considera n'ansem co-trascuràbil, anté che a sia mzuràbil e nen negativa e ch'a sia . Antlora, minca , ansima a l'ansem co-trascuràbil a l'é mzuràbil e nen negativa, e scasi daspërtut; donca a l'é antëgrabil con . D'àutra part, , parèj la sequensa a sodisfa le condission dël teorema ëd Beppo Levi; parèj a l'é antëgràbil, con . Dagià che scasi daspërtut, a-i na ven che scasi daspërtut, e a esist e a fa .

Teorema ëd Lebesgue dla convergensa dominà[modìfica | modifiché la sorgiss]

Si a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij dzora , si a esist finì pr'ësquasi tuti j' e si a-i é na fonsion antëgràbil con squasi daspërtut për minca , antlora a l'é na fonsion antëgràbil e a esist e a l'é ugoal a .

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as definissa . Dagià che , a-i na ven che , e a l'é antëgràbil, con , për ël lema ëd Fatou. D'àutra part, scasi daspërtut; parèj f a l'é antëgràbil, con

.

Dl'istessa manera, an pijand la sequensa , un a oten

,

lòn ch'a veul dì

.

Donca a esist e a fa .