Régola ëd Cauchy

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


La régola ëd Cauchy, o criteri dla rèis, a l'é un criteri për la convergensa dle serie.
Ch'as considera na sequensa  a_n ëd nùmer reaj positiv e ch'as denòta  L= \limsup_{n \rightarrow \infty }a_n^{ \frac 1n } . Antlora la régola ëd Cauchy a fortiss che si L<1 la serie  \sum_{n=0}^{ \infty }a_n a convergg e si L>1 la serie a divergg.

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

An efet, ant ël prim cas i l'oma che, a la finitiva, la serie a l'é magiorà da la serie geométrica  \sum_{n=1}^{ \infty }(L+ \delta )^n, con L+ \delta <1, ch'a convergg; ant lë scond cas, u_n\geq 1 për na quantità infinìa d'ìndes n e donca ël tèrmin general a l'é nen infinitésim e la serie a divergg.

An particolar a-i na ven che si  \lim_{n \rightarrow\infty } \sqrt[n]{u_n} <1, antlora la serie  \sum_{n=1}^{ \infty }u_n a convergg; antant che si  \lim_{n \rightarrow\infty } \sqrt[n]{u_n} >1, antlora la serie a divergg. Noté che si cost lìmit a-i é ma a l'é 1, as peul disse gnente a propòsit dla convergensa dla serie.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Consideroma la serie
 \sum_{k=1}^{ \infty }a_k= \frac 14 + \frac 12 + \frac 18 + \frac 14 + \frac 1{16} + \frac 18 + \ldots

visadì

a_k= \left \{ \begin{array}{lcl} ( \frac 12 )^{ \frac{k+3}2 }, & k \mbox{ dëscobi} \\ ( \frac 12 )^{ \frac k2 }, & n \mbox{ cobi} \end{array} \right . .

Donca  \lim_{k \rightarrow\infty } \sqrt[k]{a_k}= \frac{ \sqrt{2} }2 <1 e la serie a convergg.

  • Fissoma un nùmer x \geq 0 qualsëssìa e consideroma la serie
 \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{x^n}{( \log n)^n} .

Dagià che  \lim_{n \rightarrow\infty } \frac{x^n}{ \log n } =0, la serie a convergg.

  • Consideroma la serie armònica
 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac 1n .

I l'oma

 \lim_{n \rightarrow\infty } \sqrt[n]{ \frac 1n } =1

ma la serie a divergg.

  • Consideroma la serie
 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac 1{n^2} .

I l'oma

 \lim_{n \rightarrow\infty } \sqrt[n]{ \frac 1{n^2} } =1

ma la serie a convergg.