Fonsion esponensial

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


La fonsion logaritm a l'é na fonsion bijetiva  \mathbb R^+ \to \mathbb R . Donca a admet na fonsion anversa, definìa ansima a  \mathbb R e dont la plancia a l'é  \mathbb R^+. Costa fonsion a l'é ciamà fonsion esponensial e denotà expx.

Monotonìa e lìmit[modìfica | modifiché la sorgiss]

Da la definission, a-i ven che la fonsion expx a l'é chërsenta e che

 \lim_{x \rightarrow - \infty } \exp x=0,  \lim_{x \rightarrow + \infty } \exp x=+ \infty .

Derivà[modìfica | modifiché la sorgiss]

Dagià che la fonsion f(x)=logx a l'é derivàbil con derivà sempe diferenta da 0, ëdcò soa anversa g(x)=expx a l'é derivàbil e soa derivà ant ël pont x=logy a l'é

g'(x)= \frac 1{f'(y)} =y= \exp x.

Fórmole fondamentaj[modìfica | modifiché la sorgiss]

An butand x=loga,y=logb, la fórmola logab=loga+logb a equival a

 \exp (x+y)= \exp x \cdot \exp y ,

dont a-i ven che

 \exp rx=( \exp x)^r

për qualsëssìa nùmer rassional r.

N'aplicassion: la definission ëd potensa a esponent real[modìfica | modifiché la sorgiss]

La fórmola pen-a trovà a përmet dë spantié la defission dla potensa a^r al cas anté che r a l'é 'n nùmer real qualsëssìa, nen mach rassional, e a a l'é 'n nùmer real positiv.
An butand x=loga, i l'oma an efet che, për r rassional,

a^r= \exp (r \log a),

andoa lë scond mèmber a goerna sò sust ëdcò si r a l'é nen rassional: costa ugualiansa a peul esse pijà tanme definission ëd potensa a esponent real qualsëssìa.
An costa manera a resto verificà j'istesse propietà che për la potensa a esponent rassional, visadì

a^xa^y=a^{x+y}, a^xb^x=(ab)^x, (a^x)^y=a^{xy}.

An particolar, an denotand con e ël nùmer exp1 (visadì loge=1), i otnoma

 \exp x = \exp (x \log e)=e^x;

son a përmet ëd denoté mach e^x l'esponensial d'x. An costa forma le propietà ëd costa fonsion a resto mach dij cas particolar dle propietà dle potense.

N'àutra definission dl'esponensial[modìfica | modifiché la sorgiss]

L'esponensial expx a peul ëdcò esse definì tanme la soma ëd na serie, ch'a sarìa sò dësvlup:

 \exp x= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n!} .

Costa definission as peul ëslarghesse ai valor compless ëd la variàbil x, lòn ch'a përmet dë stabilì la fórmola fondamental

 \exp (x+iy)=e^x( \cos y+i \sin y).