Fonsion esponensial

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

La fonsion logaritm a l'é na fonsion bijetiva $\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ . Donca a admet na fonsion anversa, definìa ansima a $\mathbb {R}$ e dont la plancia a l'é $\mathbb {R} ^{+}$ . Costa fonsion a l'é ciamà fonsion esponensial e denotà expx.

Monotonìa e lìmit

Da la definission, a-i ven che la fonsion expx a l'é chërsenta e che

\lim _{x\rightarrow -\infty }\exp x=0

,

\lim _{x\rightarrow +\infty }\exp x=+\infty

.

Derivà

Dagià che la fonsion f(x)=logx a l'é derivàbil con derivà sempe diferenta da 0, ëdcò soa anversa g(x)=expx a l'é derivàbil e soa derivà ant ël pont x=logy a l'é

g'(x)={\frac {1}{f'(y)}}=y=\exp x

.

Fórmole fondamentaj

An butand x=loga,y=logb, la fórmola logab=loga+logb a equival a

\exp(x+y)=\exp x\cdot \exp y

,

dont a-i ven che

\exp rx=(\exp x)^{r}

për qualsëssìa nùmer rassional r.

N'aplicassion: la definission ëd potensa a esponent real

La fórmola pen-a trovà a përmet dë spantié la defission dla potensa $a^{r}$ al cas anté che r a l'é 'n nùmer real qualsëssìa, nen mach rassional, e a a l'é 'n nùmer real positiv.
An butand x=loga, i l'oma an efet che, për r rassional,

a^{r}=\exp(r\log a)

,

andoa lë scond mèmber a goerna sò sust ëdcò si r a l'é nen rassional: costa ugualiansa a peul esse pijà tanme definission ëd potensa a esponent real qualsëssìa.
An costa manera a resto verificà j'istesse propietà che për la potensa a esponent rassional, visadì

a^{x}a^{y}=a^{x+y}

,

a^{x}b^{x}=(ab)^{x}

,

(a^{x})^{y}=a^{xy}

.

An particolar, an denotand con e ël nùmer exp1 (visadì loge=1), i otnoma

\exp x=\exp(x\log e)=e^{x}

;

son a përmet ëd denoté mach $e^{x}$ l'esponensial d'x. An costa forma le propietà ëd costa fonsion a resto mach dij cas particolar dle propietà dle potense.

N'àutra definission dl'esponensial

L'esponensial expx a peul ëdcò esse definì tanme la soma ëd na serie, ch'a sarìa sò dësvlup:

\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

.

Costa definission as peul ëslarghesse ai valor compless ëd la variàbil x, lòn ch'a përmet dë stabilì la fórmola fondamental

\exp(x+iy)=e^{x}(\cos y+i\sin y)

.