Quaternion

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

L'anel dij quaternion

Ch'as consìdera n'anel comutativ unitari K. As ciama strutura algébrica dij quaternion ansima a K ël terno $Q_{K}=(K^{4},+,\cdot )$ anté che j'operassion + e $\cdot$ , a son definìe parèj: si $a=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})$ e $b=(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})$ , antlora

a+b=(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})

e

a\cdot b=(d_{1},d_{2},d_{3},d_{4})

,

andoa

c_{1}=a_{1}+b_{1},c_{2}=a_{2}+b_{2},c_{3}=a_{3}+b_{3},c_{4}=a_{4}+b_{4}

,

d_{1}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}

,

d_{2}=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}

,

d_{3}=a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4}

,

d_{4}=a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}

.

Propietà

$Q_{K}$ a l'é n'anel unitari, dit anel dij quaternion ansima a K. Sò zero a l'é (0,0,0,0) e soa unità a l'é (1,0,0,0).
$Q_{K}$ a l'é n'anel comutativ si e mach si K a l'ha caraterìstica 2.

L'àlgebra dij quaternion

Pijà $\alpha \in K$ e $a=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})\in K^{4}$ as peul ëdcò definisse

\alpha *a=(\alpha a_{1},\alpha a_{2},\alpha a_{3},\alpha a_{4})

.

Antlora ël terno $(K^{4},+,*)$ a ven a esse un mòdol su K. Ël quaterno $(K^{4},+,\cdot ,*)$ a l'é n'àlgebra, dita àlgebra dij quaternion ansima a K.