Anel

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.


Definission[modìfica | modifiché la sorgiss]

As ciama anel na strutura algébrica , anté che:

  • (A,+) a l'é në strop comutativ, dont l'element identità a l'é 'd sòlit denotà 0 o ;
  • a l'é un semistrop, visadì ël prodot (o multiplicassion) a l'é associativ: a(bc)=(ab)c për tuti j';
  • a son vàlide le doe distributività: e për tuti j'.

J'element a,b dl'anel A as diso përmutàbij si ab=ba. Për minca cobia d'element përmutàbij ëd n'anel a val la fórmola dël binòmi.
N'anel comutativ a l'é n'anel anté che la multiplicassion a l'é comutativa: për tuti j'.

N'anel con unità a l'é n'anel anté ch'a-i é n'element, ëd sòlit denotà 1 o , ch'a l'é element identità për ël prodot, visadì për minca . An d'àutre paròle, n'anel con unità a l'é n'anel anté che a l'é un monòid.

Esempi d'anej[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Ch'as consìdera në strop comutativ G. Definioma an G un prodot an butant për minca . Antlora a l'é n'anel.
  • L'ansem dle class ëd congruensa con soe operassion a l'é n'anel.
  • Ch'as fissa në strop abelian (G,+) e ch'as consìdera l'ansem E ëd tuti ij morfism dë strop , con l'adission f+g an E definìa da
.
Parèj, (E,+) a ven a esse në strop abelian. Consideroma tanme prodot an E l'operassion ëd composission. Costa operassion a l'ha n'element unità, ch'a l'é l'identità ëd G. An dzorpì, a valo le propietà distributive d'ës prodot rëspet a l'adission. An efet, për minca e ,
[f(g+h)](x)=f[(g+h)(x)]=f[g(x)+h(x)]=fg(x)+fh(x)=(fg+fh)(x) e
[(f+g)h](x)=(f+g)[h(x)]=f[h(x)]+g[h(x)]=(fh)(x)+(gh)(x)=(fh+gh)(x).
Donca, rëspet a coste operassion, E a l'é n'anel con unità (an general nen comutativ). A l'é dit anel dj'endomorfism dlë strop G.
  • N'esempi d'anel nen comutativ e sensa unità as peul oten-e an partend da lë strop {0,1,2,3} dle class ëd resta mòdol 4 e definendje un prodot përparèj:
,
,
,
.
  • L'ansem dle fonsion reaj ëd variàbil real a l'é n'anel con j'operassion d'adission e multiplicassion pontoal:
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(fg)(x)=f(x)g(x).

Chèiche propietà elementar[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera n'anel A. Da la definission as peulo dimostresse vàire propietà elementar.

  • për minca .

An efet, e . Dagià che (A,+) a l'é në strop, as peul gavesse da minca banda dla prima equassion e da minca banda dla sconda e oten-e la conclusion vorsùa.

  • (-a)b=a(-b)=-(ab) për minca .

An efet, .

An efet, an dovrand la propietà distributiva, (na)b=(a+a+...+a)b=ab+ab+...+ab=n(ab). Ant l'istessa manera, a(nb)=a(b+b+...+b)=ab+ab+...+ab=n(ab).

  • Ël prodot a l'é distributiv ëdcò rëspet a la diferensa: për minca , a valo j'ugualianse x(y-z)=xy-xz e (x-y)z=xz-yz.

An efet, x(y-z)=x[y+(-z)]=xy+x(-z)=xy+(-xz)=xy-xz. Ant l'istessa manera, (x-y)z=[x+(-y)]z=xz+(-y)z=xz+(-yz)=xz-yz.

A l'é possìbil che an n'anel con unità , ma ant ës cas-sì da le propietà sì-dzora a-i ven che . An efet, pijà qualsëssìa , i l'oma che .

Sot-anej[modìfica | modifiché la sorgiss]

Un sot-ansem B ëd n'anel A as dis stàbil, o sarà, si për qualsëssìa .
Un sot-anel d'A a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'A ch'a sia ëdcò chiel n'anel, dotà dj'operassion d'A.

Condission necessaria e bastèivola përchè un sot-ansem B d'A a na sia un sot-anel e l'é che e për minca . Na condission equivalenta a l'é che e për minca .

Minca sot-anel ëd n'anel comutativ a l'é 'dcò chiel comutativ.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Antra ij sot-anej ëd n'anel A a-i son sempe e A midem, ch'a son dit sot-anej impròpi. Tuti j'àutri sot-anej, s'a-i na son, a son dit pròpi.
  • Si B a l'é sot-anel d'A e C a l'é sot-anel ëd B, antlora C a l'é sot-anel d'A.
  • Si B e C a son sot-anej d'A e , antlora C a l'é ëdcò sot-anel ëd B.
  • Dàita na famija nen veuida ëd sot-anej d'A, l'antërsession ëd costa famija a l'é 'n sot-anel d'A. Donca a esist ëdcò ël pì cit sot-anel ch'a conten minca element d': as treuva an pijand l'antërsession ëd tuti ij sot-anej ch'a conten-o l'union d' (e a-i na j'é almanch un, visadì A midem). An general, l'union d' a l'é nen un sot-anel.
  • Ant l'anel dle class ëd resta mòdol 6, ël sot-ansem B={0,2,4} a l'é 'n sot-anel.
  • Për minca nùmer natural n, l'ansem dij mùltipl antregh d'n a l'é 'n sot-anel ëd . Për i l'oma ij sot-anej impròpi. Armarcoma che, për , as trata 'd sot-anej sensa unità.
  • Consideroma un sot-ansem I ëd n'anel A e definioma . As agiss d'un sot-anel d'A. An efet:
;
pijà e i l'oma e ; donca .
Ël sot-anel a l'é dit ël sènter ëd l'anel A.
  • Ch'as consìdera l'anel con j'operassion definìe për componente:
,
.
As agiss ëd n'anel con unità (1,1). Ël sot-ansem a l'é 'n sot-anel, con unità 'dcò chiel, ma soa unità a l'é (1,0).

Anej prodot[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera na famija nen veuida d'anej. L'anel prodot diret a l'é otnù dal prodot cartesian an definend j'operassion për componente:

  • (a+b)(i)=a(i)+b(i),
  • (ab)(i)=a(i)b(i).

Ël zero dl'anel prodot a l'é l'element definì da , për minca e l'opòst -a ëd l'element a l'é definì da (-a)(i)=-a(i) për minca .
Da costa definission a-i ven, an particolar, che R a l'é comutativ si e mach si minca a-l l'é. Si tuti j'anej ëd la famija a l'han n'unità, antlora ëdcò ël prodot diret a-l l'ha: a l'é l'element dont tute le componente a son l'unità ant ël fator corëspondent.

Si për minca i pijoma un sot-anel d', i otnoma un sot-anel dël prodot diret.

Divisor ëd zero[modìfica | modifiché la sorgiss]

An n'anel A, n'element x diferent da as dis divisor ëd zero a snistra s'a esist n'element y an A, diferent da tal che . Ant l'istessa manera as definisso ij divisor ëd zero a drita. Noté che si x a l'é divisor ëd zero a snistra, e a l'é tal che , antlora y a l'é divisor ëd zero a drita.

As dis che an n'anel a val ël prinsipi d'anulament dël prodot si l'ùnica manera për un prodot d'esse a l'é che almanch un dij doi fator a sia , visadì ch'a-i sio pa ëd divisor ëd zero.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Ant l'anel dle class ëd resta mòdol 6 a-i son ëd divisor ëd zero; tutun ël sot-anel {0,2,4} a-n n'ha pa.
  • Fissà 'n nùmer natural , l'ansem dle matris quadrà reaj d'órdin n con soe operassion d'adission e prodot riga për colòna a l'é n'anel. Si , ël prodot a l'é nen comutativ e a-i son ëd divisor ëd zero: për esempi, denotà la matris fàita tuta da 0, gavà n'1 al pòst (i,j), si i l'oma che a l'é la matris con tuti 0.

Propietà. An n'anel A a valo le laj ëd simplificassion dël prodot si e mach si a-i son nen ëd divisor ëd zero.

Dimostrassion. Si an A a-i son ëd divisor ëd zero, ch'as consìdero doi element x e y diferent da taj che . Antlora , ma . Ant l'istessa manera as fa vëdde che ël prodot as peul nen simplifichesse a drita.
Për l'anvers, suponoma che ël prodot a sia nen simplificàbil a snistra (l'istess rasonament as fa s'a l'é nen simplificàbil a drita). Antlora a-i son d'element , con e , taj che xy=xz. A-i na ven che e donca ch'a-i son ëd divisor ëd zero.

Armarché che dì che n'anel A a l'ha pa 'd divisor ëd zero a l'é l'istess che dì che a l'é 'n sot-semistrop dël semistrop .

N'anel comutativ sensa divisor ëd zero as dis domini d'antegrità.

La caraterìstica 'd n'anel[modìfica | modifiché la sorgiss]

Consideroma n'anel A e n'element . A peul desse ch'a esisto dij nùmer naturaj positiv n taj che . Ant ës cas-sì, ël pì cit ëd costi nùmer a l'é dit caraterìstica d'x. S'a-i é gnun nùmer parèj, as dis che x a l'ha caraterìstica zero (o infinìa).

La caraterìstica 'd n'anel A a l'é, s'a esist, ël pì cit nùmer natural positiv N tal che për tuti j'. S'un nùmer parèj a esist nen, antlora as dis che la caraterìstica d'A a l'é zero (o infinìa).

Propietà. An n'anel con unità, la caraterìstica dl'anel a l'é cola 'd soa unità.

Dimostrassion. Si la caraterìstica d' a l'é m>0, pijà un qualsëssìa i l'oma

.

Si nopà la caraterìstica d' a l'é zero, antlora cola d'A a peul nen esse positiva, e donca a l'é zero 'dcò chila.

Propietà. An n'anel, tuti j'element ch'a son nen divisor ëd zero a l'han la midema caraterìstica.

Dimostrassion. Consideroma d'element x e y ch'a sio nen divisor ëd zero e foma l'ipòtesi che la caraterìstica d'x a sia m>0.
Antlora: . Dagià che x a l'é nen divisor ëd zero, a dev esse ; donca la caraterìstica d'y a l'é positiva e a l'é al màssim cola d'x. An baratand ël ròl d'x e y i otnoma che soe caraterìstiche a son j'istesse.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • J'anej dj'antregh, dij rassionaj, dij reaj a l'han caraterìstica 0, përchè costa a l'é la caraterìstica dl'1.
  • J'anej dij mùltipl antregh dël natural n>0 a l'han tuti caraterìstica 0.
  • J'anej dle class ëd resta mòdol a l'han caraterìstica n. Parèj, la caraterìstica ëd a l'é 6; sò sot-anel {0,2,4} a l'ha, nopà, caraterìstica 3. Noté però che la caraterìstica ëd n'element an n'anel o ant un sot-anel a resta la midema.

Ideaj[modìfica | modifiché la sorgiss]

Un sot-anel I ëd n'anel A a l'é dit ideal ësnistr si ; a l'é dit ideal drit si . N'ideal ch'a sia tant ësnistr che drit a l'é ciamà ideal bilateral, o bele mach ideal (ant j'anej comutativ, ideaj snistr, drit e bilateraj a son l'istess).
An minca anel, l'ideal nul e A midem a son d'ideaj bilateraj, dit ideaj banaj; j'àutri ideaj, s'a-i na son, a son dit pròpi.
N'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A a l'é ëdcò ideal (snistr, drit o bilateral) ëd minca sot-anel B d'A ch'a lo conten-a.
J'deaj bilateraj a l'han an teorìa dj'anej un ròl parèj ëd col dij sot-ëstrop normaj an teorìa djë strop.

Propietà. Si n'anel A a l'ha n'unità, costa a aparten a gnun ideal pròpi dl'anel.

Dimostrassion. Si l'unità a sta an n'ideal I, për minca i l'oma .

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Fissà un nùmer antregh n, an qualsëssìa anel A l'ansem a l'é n'ideal bilateral d'A.
  • L'ansem dle matris reaj quadrà d'órdin 2 con seconda riga nula a l'é n'ideal drit, ma nen ësnistr, ant l'anel dle matris reaj quadrà d'órdin 2.
  • Pijà 'n sot-ansem X ëd n'anel A, l' anulator ësnistr d'X a l'é l'ansem . As trata 'd n'ideal ësnistr d'A. An efet, a jë sta andrinta; pijà a,b an st'ansem e i l'oma . Për finì, pijà a ant l'anulator ësnitr e i l'oma che, për minca , . Ant l'istessa manera as definisso l'anulator drit e l'anulator d'X (ës darié a l'é l'ansem dj' taj che për minca ): ël prim a l'é n'ideal drit d'A, lë scond n'ideal bilateral.
  • Considerà na famija nen veuida d'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel, l'antërsession a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral). Donca, pijà un qualsëssìa sot-ansem S ëd n'anel, ël pì cit ideal (drit, snistr o bilateral) ch'a conten S a l'é l'antërsession ëd la famija ëd tuti j'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ch'a conten-o S. Cost-sì as dis ideal generà da S.
  • Si I e J a son doi ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel A, l'ideal generà da a l'é l'ideal soma . An efet, e pijà , i l'oma che . Për finì, butoma che I e J a sio d'ideaj snistr (istess rasonament s'a son drit o bilateraj); pijà , i l'oma che .
  • Ant un prodot diret d'anej, si për minca fator i pijoma n'ideal (snistr, drit o bilateral) , ël prodot a resta n'ideal (snistr, drit o bilateral).
  • La soma direta dla famija nen veuida d'anej a l'é ël sot-ansem dël prodot diret ëd coj element ch'a l'han tute le componente nule, gavà na quantità finìa. A l'é n'ideal bilateral, dagià che ël prodot ëd qualsëssìa cobia d'element dël prodot diret a l'ha componenta nula andoa che almanch un dij doi fator a l'ha componenta nula. Cand J a l'é n'ansem finì, la soma direta a coincid con ël prodot diret.

Ideaj massimaj[modìfica | modifiché la sorgiss]

N'ideal M ëd n'anel A a l'é dit massimal si e a-i é gnun ideal U tal che . Për esempi, j'ideaj massimaj ëd a son j'ansem dij mùltipl ëd chèich nùmer prim.

Ant l'anel dle fonsion continue da l'antërval [0,1] ant ij reaj, l'ideal , anté che , a l'é massimal.
Pr'ës-ciaré sòn, pijoma n'ideal U ch'a conten-a ëd fasson pròpia M e na fonsion . Antlora, . D'àutra part, e donca la fonsion costanta α, diferensa ëd g(x) e h(x), a l'é an U. A-i na ven che e U=R.
As peul mostresse che tuti j'ideaj massimaj d'R a son ëd cost tipo.

Anel cossient[modìfica | modifiché la sorgiss]

Pijà n'ideal I ëd n'anel A e n'element , dagià che (I,+) a l'é 'n sot-ëstrop d'(A,+) as peul consideresse ël cossient A/I. Ansima a cost cossient, ëdcò la multiplicassion as definiss ëd fasson natural an butand (a+I)(b+I)=ab+I e A/I a arzulta esse n'anel, dit anel cossient.
Armarché che sa definission ëd prodot a veul nen dì che l'ansem dij prodot a sia l'ansem ab+I, dagià che an general a val mach l'anclusion

.

Për dimostré costa relassion a basta noté che, pijà qualsëssìa i l'oma

.

Si A a l'é comutativ, ëdcò A/I a-l l'é.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Për minca nùmer natural , l'anel , cossient dj'antregh rëspet a l'ideal dij mùltipl d'n, a l'é l'anel dle class ëd resta mòdol n.
  • Sa costrussion a peul generalisesse: pijà n'anel A e n'antregh n, l'anel A/nA as ciama l'anel ridot d'A mòdol n.

N'àutra costrussion dj'anej cossient[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera na relassion d'equivalensa ansima a n'anel A e foma l'ipòtesi che a sia compatìbil rëspet a j'operassion, visadì:

.

As peulo antlora definì d'operassion ëd soma e prodot ansima al cossient përparèj:

,
.

Con coste operassion, a ven a esse n'anel, ciamà anel cossient d'A rëspet a .
Si A a l'é comutativ, ëdcò a-l l'é; si A a l'ha n'unità , antlora ëdcò a-l l'ha e costa-sì a l'é .

Le doe costrussion a arzulto esse equivalente. An efet, a val la propietà sì-dapress.

Propietà. Na relassion d'equivalensa σ a l'é compatìbil con j'operassion si e mach si la partission ch'a detèrmina a l'é cola dij lateraj ëd n'ideal bilateral.

Dimostrassion. Dàita σ compatìbil, i l'oma che

e a l'é n'ideal bilateral dont le class ëd σ a son ij lateraj. Viceversa, dàit n'ideal bilateral I, la relassion

a l'é na relassion d'equivalensa compatìbil con j'operassion.
Le fonsion a son anverse un-a dl'àutra.

Morfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Considerà j'anej A e A', un morfism (o omomorfism) d'anej antra A e A' a l'é na fonsion ch'a conserva j'operassion, visadì

f(x+y)=f(x)+f(y),
f(xy)=f(x)f(y),

për minca .
Un morfism surietiv as dis ëdcò epimorfism e un morfism inietiv monomorfism.

Si A,B,C a son d'anej e a son ëd morfism, antlora soa composission a l'é 'n morfism.

Nos d'un morfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

La nos d'f a l'é . As trata 'd n'ideal. An efet, a l'é la nos d'un morfism dë strop, donca a l'é 'n sot-ëstrop d'A. An dzorpì, për tuti j' e tuti ij ,

e ,

donca sia ab che ba a stan an kerf.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Pijà n'anel A e un sò ideal I, la projession ch'a manda minca an a l'é 'n morfism.
  • Ch'as consìdera la fonsion ch'a manda mìnca nùmer antregh an soa class ëd resta. As trata 'd n'epimorfism. Noté che antant che an minca nùmer diferent da 0 a l'ha caraterìstica zero e a l'ha pa 'd divisor ëd zero, minca element ëd diferent da zero a l'ha caraterìstica finìa e a l'ha 'd divisor ëd zero.
  • A-i é mach n'epimorfism . Noté che antant che 3 a l'é 'n divisor ëd zero an , soa plancia 1 a-l l'é nen an .
  • Le projession canòniche d'un prodot diret ansima ai sò fator a son d'epimorfism. J'iniession canòniche definìe an manera che a l'ha a tanme componenta d'ìndes h e tute j'àutre componente nule, a son ëd monomorfism. Pijà , la composission a l'é l'identità cand h=k e ël morfism ch'a manda tut an dësnò. Le projession canòniche rëstrenzùe a la soma direta a son ancor dj'epimorfism e la plancia ëd minca iniession canònica a l'é un sot-ansem dla soma direta.

Chèiche propietà sempie[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Dàit un morfism d'anej e un sot-anel B d'A, f(B) a l'é sot-anel d'A'. An particolar, la plancia d'f a l'é 'n sot-anel d'A'.

Dimostrassion. Ël sot-ansem f(B) a l'é 'n sot-ëstrop d'A', dagià che f a l'é ëdco 'n morfism dë strop. Pijà peui , i l'oma che .

  • Dàit un morfism antra anej e un sot-anel B' d'A', a l'é 'n sot-anel d'A.

Dimostrassion. I l'oma che a l'é 'n sot-ëstrop d'A. An dzorpì, pijà , i l'oma e donca .

  • La plancia omomorfa ëd n'anel comutativ a l'é comutativa.

Dimostrassion. A basta armarché che ant ës cas-sì f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x).

  • Si A a l'é n'anel con unità e a l'é n'epimorfism antra anej, con , antlora .

Dimostrassion. S'i pijoma qualsëssìa e con f(a)=a', i l'oma che .

  • Si a l'é n'epimorfism antra anej e A a l'ha n'unità , antlora e l'é l'unità d'A'; an dzorpì, si a l'é anvertìbil, ëdcò f(a) a-l l'é e .

Dimostrassion. Pijà e con f(a)=a', i l'oma e donca a l'é unità an A'. Si a l'é anvertìbil, con anvers , a-i ven che e donca a l'é l'anvers d'f(a).

  • La plancia ëd n'ideal I (snistr, drit o bilateral) a travers n'epimorfism a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral, a sconda dij cas).

Dimostrassion. Butoma che I a sia n'ideal ësnistr d'A (istess rasonament s'as trata ëd n'ideal drit o bilateral). Pijoma për fé vëdde che . Antlora a-i é con f(y)=x. Parèj, .

  • La contra-plancia 'd n'ideal J (snistr, drit o bilateral) a travers un morfism d'anej a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A.

Dimostrassion. Për ël cas ëd n'ideal ësnistr (l'istess a val për n'ideal drit o bilateral), pijoma . Antlora e donca .

Isomorfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Un morfism d'anej ch'a l'é na bijession a l'é dit isomorfism e ij doi anej isomorf. A-i na ven che n'isomorfism a conserva ëdcò (cand ch'a-i son) l'unità e j'anvers, visadì

,
për minca .

La relassion d'isomorfism antra anej a l'é na relassion d'equivalensa.

Fatorisassion dij morfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as pija un morfism antra anej e n'ideal I d'A. Butoma che . Antlora a-i é 'n morfism d'anej tal che g(a+I)=f(a) për tuti j'.

An efet, g a l'é bin definì e a l'é un morfism dë strop, dagià che f a-l l'é. Për la multiplicassion, i l'oma

g((a+I)(b+I))=g(ab+I)=f(ab)=f(a)f(b)=g(a+I)g(b+I).

A-i na ven che minca omomorfism antra anej a peul decomponse tanme anté che:

  • a l'é la projession canònica, ch'a l'é n'epimorfism;
  • a l'é n'isomorfism;
  • j a l'é ël fongament d'f(A) andrinta a A', ch'a l'é un monomorfism.

An particolar, armarcoma che:

  • minca ideal bilateral a l'é la nos ëd n'omomorfism d'anej;
  • A/kerf a l'é isomorf a f(A);
  • për , A/I a l'é isomorf a A;
  • për I=A i l'oma che A/I a l'é isomorf a ;
  • si I a l'é n'ideal bilateral d'A, la projession canònica a génera na bijession antra la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A ch'a conten-o I e la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A/I.
  • dàit un morfism d'anej , n'ideal bilateral e n'ideal bilateral , si antlora f a passa al cossient e a génera un morfism definì da .

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Ch'as consìdera la fonsion cha assòssia a minca polinòmi a coeffisient antregh sò tèrmin costant. As trata d'un morfism, dont la nos a l'é l'ansem dij polinòmi ëd tèrmin costant nul e . Minca lateral ëd kerf a l'é formà dai poliòmi ch'a partagio ël midem tèrmin costant.
  • N'esempi ch'a jë smija a l'é ël morfism ch'a assòssia a minca ël valor f(0). L'ideal I dle fonsion ch'a valo 0 ant l'orìgin a l'é la nos d'ës morfism; dagià che la plancia a l'é (a basta mach consideré le fonsion costante) i otnoma che .

Arpresentassion ëd n'anel an n'anel d'endomorfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Cosideroma n'anel A. Për minca ch'as consìdera la fonsion definìa an butand , ciamà multiplicassion a snistra për a. As agiss d'un morfism dlë strop abelian (A,+):

.

An sa manera i l'oma definì na fonsion f da a l'anel dj'endomorfism ëd lë strop abelian (A,+). Costa-sì a l'é 'n morfism d'anej:

;
.

La nos d'ës morfism a l'é , visadì l'anulator snistr d'A.

Ant ël cas A a l'abia n'unità , dagià che , cost morfism a l'é 'n monomorifsm. Donca A a resta isomorf a l'anel dle multiplicassion a snistra. Parèj i l'oma otnù che minca anel con unità a l'é isomorf a n'anel d'endomorfism ëd sò strop abelian aditiv.