Anel

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Definission As ciama anel na strutura algébrica $(A,+,\cdot )$, anté che: (A,+) a l'é në strop comutativ, dont l'element identità a l'é 'd sòlit denotà 0 o $0_{A}$; $(A,\cdot )$ a l'é un semistrop, visadì ël prodot (o multiplicassion) $\cdot$ a l'é associativ: a(bc)=(ab)c për tuti j'$a,b,c\in A$; a son vàlide le doe distributività: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ e $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ për tuti j'$a,b,c\in A$. J'element a,b dl'anel A as diso përmutàbij si ab=ba. Për minca cobia d'element përmutàbij ëd n'anel a val la fórmola dël binòmi. N'anel comutativ a l'é n'anel anté che la multiplicassion a l'é comutativa: $ab=ba$ për tuti j'$a,b\in A$. N'anel con unità a l'é n'anel anté ch'a-i é n'element, ëd sòlit denotà 1 o $1_{A}$, ch'a l'é element identità për ël prodot, visadì $1_{A}a=a1_{A}=a$ për minca $a\in A$. An d'àutre paròle, n'anel con unità a l'é n'anel anté che $(A,\cdot )$ a l'é un monòid. Esempi d'anej Ch'as consìdera në strop comutativ G. Definioma an G un prodot an butant $xy=0_{G}$ për minca $x,y\in G$. Antlora $(G,+,\cdot )$ a l'é n'anel. L'ansem dle class ëd congruensa con soe operassion a l'é n'anel. Ch'as fissa në strop abelian (G,+) e ch'as consìdera l'ansem E ëd tuti ij morfism dë strop $G\to G$, con l'adission f+g an E definìa da $\forall x\in G,(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. Parèj, (E,+) a ven a esse në strop abelian. Consideroma tanme prodot an E l'operassion ëd composission. Costa operassion a l'ha n'element unità, ch'a l'é l'identità ëd G. An dzorpì, a valo le propietà distributive d'ës prodot rëspet a l'adission. An efet, për minca $f,g,h\in E$ e $x\in G$, [f(g+h)](x)=f[(g+h)(x)]=f[g(x)+h(x)]=fg(x)+fh(x)=(fg+fh)(x) e [(f+g)h](x)=(f+g)[h(x)]=f[h(x)]+g[h(x)]=(fh)(x)+(gh)(x)=(fh+gh)(x). Donca, rëspet a coste operassion, E a l'é n'anel con unità (an general nen comutativ). A l'é dit anel dj'endomorfism dlë strop G. N'esempi d'anel nen comutativ e sensa unità as peul oten-e an partend da lë strop {0,1,2,3} dle class ëd resta mòdol 4 e definendje un prodot përparèj: $0\cdot x=x\cdot 0=0$, $1\cdot 1=1,1\cdot 2=2,1\cdot 3=3$, $2\cdot 1=2\cdot 2=2\cdot 3=0$, $3\cdot 1=1,3\cdot 2=2,3\cdot 3=3$. L'ansem $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ dle fonsion reaj ëd variàbil real a l'é n'anel con j'operassion d'adission e multiplicassion pontoal: (f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x). J'anej ëd Boole. Chèiche propietà elementar Ch'as consìdera n'anel A. Da la definission as peulo dimostresse vàire propietà elementar. $a0_{A}=0_{A}a=0_{A}$ për minca $a\in A$. An efet, $a0_{A}=a(0_{A}+0_{A})=a0_{A}+a0_{A}$ e $0_{A}a=(0_{A}+0_{A})a=0_{A}a+0_{A}a$. Dagià che (A,+) a l'é në strop, as peul gavesse $a0_{A}$ da minca banda dla prima equassion e $0_{A}a$ da minca banda dla sconda e oten-e la conclusion vorsùa. (-a)b=a(-b)=-(ab) për minca $a,b\in A$. An efet, $ab+((-a)b)=(a+(-a))b=0_{A}b=0_{A}=a0_{A}=a(b+(-b))=ab+a(-b)$. Për minca nùmer natural n e minca $a,b\in A$ a valo j'ugualianse (na)b=n(ab)=a(nb). An efet, an dovrand la propietà distributiva, (na)b=(a+a+...+a)b=ab+ab+...+ab=n(ab). Ant l'istessa manera, a(nb)=a(b+b+...+b)=ab+ab+...+ab=n(ab). Ël prodot a l'é distributiv ëdcò rëspet a la diferensa: për minca $x,y,z\in A$, a valo j'ugualianse x(y-z)=xy-xz e (x-y)z=xz-yz. An efet, x(y-z)=x[y+(-z)]=xy+x(-z)=xy+(-xz)=xy-xz. Ant l'istessa manera, (x-y)z=[x+(-y)]z=xz+(-y)z=xz+(-yz)=xz-yz. A l'é possìbil che an n'anel con unità $0_{A}=1_{A}$, ma ant ës cas-sì da le propietà sì-dzora a-i ven che $A=\{0_{A}\}$. An efet, pijà qualsëssìa $x\in A$, i l'oma che $0_{A}=x0_{A}=x1_{A}=x$. Sot-anej Un sot-ansem B ëd n'anel A as dis stàbil, o sarà, si $x+y,xy\in B$ për qualsëssìa $x,y\in B$. Un sot-anel d'A a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'A ch'a sia ëdcò chiel n'anel, dotà dj'operassion d'A. Condission necessaria e bastèivola përchè un sot-ansem B d'A a na sia un sot-anel e l'é che $0_{A}\in B$ e $a+b,ab,-a\in B$ për minca $a,b\in B$. Na condission equivalenta a l'é che $0_{A}\in B$ e $a-b,ab\in B$ për minca $a,b\in B$. Minca sot-anel ëd n'anel comutativ a l'é 'dcò chiel comutativ. Esempi Antra ij sot-anej ëd n'anel A a-i son sempe $\{0_{A}\}$ e A midem, ch'a son dit sot-anej impròpi. Tuti j'àutri sot-anej, s'a-i na son, a son dit pròpi. Si B a l'é sot-anel d'A e C a l'é sot-anel ëd B, antlora C a l'é sot-anel d'A. Si B e C a son sot-anej d'A e $C\subseteq B$, antlora C a l'é ëdcò sot-anel ëd B. Dàita na famija nen veuida ${\mathcal {F}}$ ëd sot-anej d'A, l'antërsession ëd costa famija a l'é 'n sot-anel d'A. Donca a esist ëdcò ël pì cit sot-anel ch'a conten minca element d'${\mathcal {F}}$: as treuva an pijand l'antërsession ëd tuti ij sot-anej ch'a conten-o l'union d'${\mathcal {F}}$ (e a-i na j'é almanch un, visadì A midem). An general, l'union d'${\mathcal {F}}$ a l'é nen un sot-anel. Ant l'anel $\mathbb {Z} _{6}=\{0,1,2,3,4,5\}$ dle class ëd resta mòdol 6, ël sot-ansem B={0,2,4} a l'é 'n sot-anel. Për minca nùmer natural n, l'ansem $n\mathbb {Z}$ dij mùltipl antregh d'n a l'é 'n sot-anel ëd $\mathbb {Z}$. Për $n\in \{0,1\}$ i l'oma ij sot-anej impròpi. Armarcoma che, për $n\geq 2$, as trata 'd sot-anej sensa unità. Consideroma un sot-ansem I ëd n'anel A e definioma $C_{I}=\{a\in A\mid \forall u\in I,au=ua\}$. As agiss d'un sot-anel d'A. An efet: $0_{A}\in C_{I}$; pijà $a_{1},a_{2}\in C_{I}$ e $u\in I$ i l'oma $(a_{1}-a_{2})u=a_{1}u-a_{2}u=ua_{1}-ua_{2}=u(a_{1}-a_{2})$ e $(a_{1}a_{2})u=a_{1}(a_{2}u)=a_{1}(ua_{2})=(a_{1}u)a_{2}=(ua_{1})a_{2}=u(a_{1}a_{2})$; donca $a_{1}-a_{2},a_{1}a_{2}\in C_{I}$. Ël sot-anel $C_{A}$ a l'é dit ël sènter ëd l'anel A. Ch'as consìdera l'anel $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ con j'operassion definìe për componente: $(m,n)+(h,k)=(m+h,n+k)$, $(m,n)(h,k)=(mh,nk)$. As agiss ëd n'anel con unità (1,1). Ël sot-ansem $\mathbb {Z} \times \{0\}$ a l'é 'n sot-anel, con unità 'dcò chiel, ma soa unità a l'é (1,0). Anej prodot Ch'as consìdera na famija nen veuida $\{R_{i}\}_{i\in I}$ d'anej. L'anel prodot diret a l'é otnù dal prodot cartesian $R=\prod _{i\in I}R_{i}$ an definend j'operassion për componente: (a+b)(i)=a(i)+b(i), (ab)(i)=a(i)b(i). Ël zero dl'anel prodot a l'é l'element definì da $0_{R}(i)=0_{R_{i}}$, për minca $i\in I$ e l'opòst -a ëd l'element $a\in R$ a l'é definì da (-a)(i)=-a(i) për minca $i\in I$. Da costa definission a-i ven, an particolar, che R a l'é comutativ si e mach si minca $R_{i}$ a-l l'é. Si tuti j'anej ëd la famija a l'han n'unità, antlora ëdcò ël prodot diret a-l l'ha: a l'é l'element dont tute le componente a son l'unità ant ël fator corëspondent. Si për minca $j\in J$ i pijoma un sot-anel $B_{j}$ d'$R_{j}$, i otnoma un sot-anel $\prod _{j\in J}B_{j}$ dël prodot diret. Divisor ëd zero An n'anel A, n'element x diferent da $0_{A}$ as dis divisor ëd zero a snistra s'a esist n'element y an A, diferent da $0_{A}$ tal che $xy=0_{A}$. Ant l'istessa manera as definisso ij divisor ëd zero a drita. Noté che si x a l'é divisor ëd zero a snistra, e $y\neq 0$ a l'é tal che $xy=0_{A}$, antlora y a l'é divisor ëd zero a drita. As dis che an n'anel a val ël prinsipi d'anulament dël prodot si l'ùnica manera për un prodot d'esse $0_{A}$ a l'é che almanch un dij doi fator a sia $0_{A}$, visadì ch'a-i sio pa ëd divisor ëd zero. Esempi Ant l'anel $\mathbb {Z} _{6}$ dle class ëd resta mòdol 6 a-i son ëd divisor ëd zero; tutun ël sot-anel {0,2,4} a-n n'ha pa. Fissà 'n nùmer natural $n\geq 1$, l'ansem dle matris quadrà reaj d'órdin n con soe operassion d'adission e prodot riga për colòna a l'é n'anel. Si $n\geq 2$, ël prodot a l'é nen comutativ e a-i son ëd divisor ëd zero: për esempi, denotà $E_{ij}$ la matris fàita tuta da 0, gavà n'1 al pòst (i,j), si $j\neq h$ i l'oma che $E_{ij}E_{hk}$ a l'é la matris con tuti 0. Propietà. An n'anel A a valo le laj ëd simplificassion dël prodot si e mach si a-i son nen ëd divisor ëd zero. Dimostrassion. Si an A a-i son ëd divisor ëd zero, ch'as consìdero doi element x e y diferent da $0_{A}$ taj che $xy=0_{A}$. Antlora $xy=x0_{A}$, ma $y\neq 0_{A}$. Ant l'istessa manera as fa vëdde che ël prodot as peul nen simplifichesse a drita. Për l'anvers, suponoma che ël prodot a sia nen simplificàbil a snistra (l'istess rasonament as fa s'a l'é nen simplificàbil a drita). Antlora a-i son d'element $x,y,z\in A$, con $x\neq 0_{A}$ e $y\neq z$, taj che xy=xz. A-i na ven che $x(y-z)=xy-xz=0_{A}$ e donca ch'a-i son ëd divisor ëd zero. Armarché che dì che n'anel A a l'ha pa 'd divisor ëd zero a l'é l'istess che dì che $A-\{0_{A}\}$ a l'é 'n sot-semistrop dël semistrop $(A,\cdot )$. N'anel comutativ sensa divisor ëd zero as dis domini d'antegrità. La caraterìstica 'd n'anel Consideroma n'anel A e n'element $x\in A$. A peul desse ch'a esisto dij nùmer naturaj positiv n taj che $nx=0_{A}$. Ant ës cas-sì, ël pì cit ëd costi nùmer a l'é dit caraterìstica d'x. S'a-i é gnun nùmer parèj, as dis che x a l'ha caraterìstica zero (o infinìa). La caraterìstica 'd n'anel A a l'é, s'a esist, ël pì cit nùmer natural positiv N tal che $Nx=0_{A}$ për tuti j'$x\in A$. S'un nùmer parèj a esist nen, antlora as dis che la caraterìstica d'A a l'é zero (o infinìa). Propietà. An n'anel con unità, la caraterìstica dl'anel a l'é cola 'd soa unità. Dimostrassion. Si la caraterìstica d'$1_{A}$ a l'é m>0, pijà un qualsëssìa $x\in A$ i l'oma $mx=m(1_{A}x)=(m1_{A})x=0_{A}x=0_{A}$. Si nopà la caraterìstica d'$1_{A}$ a l'é zero, antlora cola d'A a peul nen esse positiva, e donca a l'é zero 'dcò chila. Propietà. An n'anel, tuti j'element ch'a son nen divisor ëd zero a l'han la midema caraterìstica. Dimostrassion. Consideroma d'element x e y ch'a sio nen divisor ëd zero e foma l'ipòtesi che la caraterìstica d'x a sia m>0. Antlora: $0_{A}=0_{A}y=(mx)y=x(my)$. Dagià che x a l'é nen divisor ëd zero, a dev esse $my=0_{A}$; donca la caraterìstica d'y a l'é positiva e a l'é al màssim cola d'x. An baratand ël ròl d'x e y i otnoma che soe caraterìstiche a son j'istesse. Esempi J'anej $\mathbb {Z}$ dj'antregh, $\mathbb {Q}$ dij rassionaj, $\mathbb {R}$ dij reaj a l'han caraterìstica 0, përchè costa a l'é la caraterìstica dl'1. J'anej $n\mathbb {Z}$ dij mùltipl antregh dël natural n>0 a l'han tuti caraterìstica 0. J'anej $\mathbb {Z} _{n}$ dle class ëd resta mòdol $n\geq 2$ a l'han caraterìstica n. Parèj, la caraterìstica ëd $\mathbb {Z} _{6}$ a l'é 6; sò sot-anel {0,2,4} a l'ha, nopà, caraterìstica 3. Noté però che la caraterìstica ëd n'element an n'anel o ant un sot-anel a resta la midema. Ideaj Un sot-anel I ëd n'anel A a l'é dit ideal ësnistr si $\forall x\in I,\forall a\in A,ax\in I$; a l'é dit ideal drit si $\forall x\in I,\forall a\in A,xa\in I$. N'ideal ch'a sia tant ësnistr che drit a l'é ciamà ideal bilateral, o bele mach ideal (ant j'anej comutativ, ideaj snistr, drit e bilateraj a son l'istess). An minca anel, l'ideal nul $\{0_{A}\}$ e A midem a son d'ideaj bilateraj, dit ideaj banaj; j'àutri ideaj, s'a-i na son, a son dit pròpi. N'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A a l'é ëdcò ideal (snistr, drit o bilateral) ëd minca sot-anel B d'A ch'a lo conten-a. J'deaj bilateraj a l'han an teorìa dj'anej un ròl parèj ëd col dij sot-ëstrop normaj an teorìa djë strop. Propietà. Si n'anel A a l'ha n'unità, costa a aparten a gnun ideal pròpi dl'anel. Dimostrassion. Si l'unità a sta an n'ideal I, për minca $a\in A$ i l'oma $a=1_{A}a\in I$. Esempi Fissà un nùmer antregh n, an qualsëssìa anel A l'ansem $\{na\mid a\in A\}$ a l'é n'ideal bilateral d'A. L'ansem dle matris reaj quadrà d'órdin 2 con seconda riga nula a l'é n'ideal drit, ma nen ësnistr, ant l'anel dle matris reaj quadrà d'órdin 2. Pijà 'n sot-ansem X ëd n'anel A, l' anulator ësnistr d'X a l'é l'ansem $\{a\in A\mid \forall x\in X,ax=0_{A}\}$. As trata 'd n'ideal ësnistr d'A. An efet, $0_{A}$ a jë sta andrinta; pijà a,b an st'ansem e $x\in X$ i l'oma $(a-b)x=ax-bx=0_{A}$. Për finì, pijà a ant l'anulator ësnitr e $b\in A$ i l'oma che, për minca $x\in X$, $bax=0_{A}$. Ant l'istessa manera as definisso l'anulator drit e l'anulator d'X (ës darié a l'é l'ansem dj'$a\in A$ taj che $ax=xa=0_{A}$ për minca $x\in X$): ël prim a l'é n'ideal drit d'A, lë scond n'ideal bilateral. Considerà na famija nen veuida ${\mathcal {F}}$ d'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel, l'antërsession $\bigcap {\mathcal {F}}$ a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral). Donca, pijà un qualsëssìa sot-ansem S ëd n'anel, ël pì cit ideal (drit, snistr o bilateral) ch'a conten S a l'é l'antërsession ëd la famija ëd tuti j'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ch'a conten-o S. Cost-sì as dis ideal generà da S. Si I e J a son doi ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel A, l'ideal generà da $I\cup J$ a l'é l'ideal soma $I+J=\{i+j\mid i\in I,j\in J\}$. An efet, $0_{A}\in I+J$ e pijà $i,i'\in I,j,j'\in J$, i l'oma che $i+j-(i'+j')=i-i'+j-j'\in I+J$. Për finì, butoma che I e J a sio d'ideaj snistr (istess rasonament s'a son drit o bilateraj); pijà $i\in I,j\in J,a\in A$, i l'oma che $a(i+j)=ai+aj\in I+J$. Ant un prodot diret $\prod _{j\in J}R_{j}$ d'anej, si për minca fator $R_{j}$ i pijoma n'ideal (snistr, drit o bilateral) $B_{j}$, ël prodot $\prod _{j\in J}B_{j}$ a resta n'ideal (snistr, drit o bilateral). La soma direta dla famija nen veuida d'anej $\{R_{h}\}_{h\in J}$ a l'é ël sot-ansem dël prodot diret ëd coj element ch'a l'han tute le componente nule, gavà na quantità finìa. A l'é n'ideal bilateral, dagià che ël prodot ëd qualsëssìa cobia d'element dël prodot diret a l'ha componenta nula andoa che almanch un dij doi fator a l'ha componenta nula. Cand J a l'é n'ansem finì, la soma direta a coincid con ël prodot diret. Ideaj massimaj N'ideal M ëd n'anel A a l'é dit massimal si $M\neq A$ e a-i é gnun ideal U tal che $M\subset U\subset A$. Për esempi, j'ideaj massimaj ëd $\mathbb {Z}$ a son j'ansem dij mùltipl ëd chèich nùmer prim. Ant l'anel $R={\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )$ dle fonsion continue da l'antërval [0,1] ant ij reaj, l'ideal $M_{\gamma }=\{f\in R\mid f(\gamma )=0\}$, anté che $\gamma \in [0,1]$, a l'é massimal. Pr'ës-ciaré sòn, pijoma n'ideal U ch'a conten-a ëd fasson pròpia M e na fonsion $g\in U-M$. Antlora, $g(\gamma )=\alpha \neq 0$. D'àutra part, $h(x)=g(x)-\alpha \in M\subseteq U$ e donca la fonsion costanta α, diferensa ëd g(x) e h(x), a l'é an U. A-i na ven che $1=\alpha \alpha ^{-1}\in U$ e U=R. As peul mostresse che tuti j'ideaj massimaj d'R a son ëd cost tipo. Anel cossient Pijà n'ideal I ëd n'anel A e n'element $a\in A$, dagià che (I,+) a l'é 'n sot-ëstrop d'(A,+) as peul consideresse ël cossient A/I. Ansima a cost cossient, ëdcò la multiplicassion as definiss ëd fasson natural an butand (a+I)(b+I)=ab+I e A/I a arzulta esse n'anel, dit anel cossient. Armarché che sa definission ëd prodot a veul nen dì che l'ansem dij prodot $\{xy\mid x\in a+I,y\in b+I\}$ a sia l'ansem ab+I, dagià che an general a val mach l'anclusion $\{xy\mid x\in a+I,y\in b+I\}\subseteq ab+I$. Për dimostré costa relassion a basta noté che, pijà qualsëssìa $u,v\in I$ i l'oma $(a+u)(b+v)=ab+av+ub+uv\in ab+I$. Si A a l'é comutativ, ëdcò A/I a-l l'é. Esempi Për minca nùmer natural $n\geq 1$, l'anel $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, cossient dj'antregh rëspet a l'ideal dij mùltipl d'n, a l'é l'anel dle class ëd resta mòdol n. Sa costrussion a peul generalisesse: pijà n'anel A e n'antregh n, l'anel A/nA as ciama l'anel ridot d'A mòdol n. N'àutra costrussion dj'anej cossient Ch'as consìdera na relassion d'equivalensa $\sigma$ ansima a n'anel A e foma l'ipòtesi che $\sigma$ a sia compatìbil rëspet a j'operassion, visadì: $x\sigma x'\wedge y\sigma y'\Rightarrow x+y\sigma x'+y'\wedge xy\sigma x'y'$. As peulo antlora definì d'operassion ëd soma e prodot ansima al cossient $A/\sigma$ përparèj: $[x]_{\sigma }+[y]_{\sigma }=[x+y]_{\sigma }$, $[x]_{\sigma }[y]_{\sigma }=[xy]_{\sigma }$. Con coste operassion, $A/\sigma$ a ven a esse n'anel, ciamà anel cossient d'A rëspet a $\sigma$. Si A a l'é comutativ, ëdcò $A/\sigma$ a-l l'é; si A a l'ha n'unità $1_{A}$, antlora ëdcò $A_{\sigma }$ a-l l'ha e costa-sì a l'é $[1_{A}]_{\sigma }$. Le doe costrussion a arzulto esse equivalente. An efet, a val la propietà sì-dapress. Propietà. Na relassion d'equivalensa σ a l'é compatìbil con j'operassion si e mach si la partission ch'a detèrmina a l'é cola dij lateraj ëd n'ideal bilateral. Dimostrassion. Dàita σ compatìbil, i l'oma che $a\sigma b\Leftrightarrow a-b\in [0_{A}]_{\sigma }$ e $[0_{A}]_{\sigma }$ a l'é n'ideal bilateral dont le class ëd σ a son ij lateraj. Viceversa, dàit n'ideal bilateral I, la relassion $a\sigma _{I}b\Leftrightarrow a-b\in I$ a l'é na relassion d'equivalensa compatìbil con j'operassion. Le fonsion $\sigma \mapsto [0_{A}]_{\sigma },I\mapsto \sigma _{I}$ a son anverse un-a dl'àutra. Morfism Considerà j'anej A e A', un morfism (o omomorfism) d'anej antra A e A' a l'é na fonsion $f:A\to A'$ ch'a conserva j'operassion, visadì f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y), për minca $x,y\in A$. Un morfism surietiv as dis ëdcò epimorfism e un morfism inietiv monomorfism. Si A,B,C a son d'anej e $f:A\to B,g:B\to C$ a son ëd morfism, antlora soa composission $gf:A\to C$ a l'é 'n morfism. Nos d'un morfism La nos d'f a l'é $kerf=\{a\in A\mid f(a)=0_{A'}\}$. As trata 'd n'ideal. An efet, a l'é la nos d'un morfism dë strop, donca a l'é 'n sot-ëstrop d'A. An dzorpì, për tuti j'$a\in kerf$ e tuti ij $b\in A$, $f(ab)=f(a)f(b)=0_{A'}f(b)=0_{A'}$ e $f(ba)=f(b)f(a)=f(b)0_{A'}=0_{A'}$, donca sia ab che ba a stan an kerf. Esempi Pijà n'anel A e un sò ideal I, la projession $A\to A/I$ ch'a manda minca $a\in A$ an $a+I\in A/I$ a l'é 'n morfism. Ch'as consìdera la fonsion $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{6}$ ch'a manda mìnca nùmer antregh an soa class ëd resta. As trata 'd n'epimorfism. Noté che antant che an $\mathbb {Z}$ minca nùmer diferent da 0 a l'ha caraterìstica zero e $\mathbb {Z}$ a l'ha pa 'd divisor ëd zero, minca element ëd $\mathbb {Z} _{6}$ diferent da zero a l'ha caraterìstica finìa e $\mathbb {Z} _{6}$ a l'ha 'd divisor ëd zero. A-i é mach n'epimorfism $\mathbb {Z} _{6}\to \mathbb {Z} _{2}$. Noté che antant che 3 a l'é 'n divisor ëd zero an $\mathbb {Z} _{6}$, soa plancia 1 a-l l'é nen an $\mathbb {Z} _{2}$. Le projession canòniche $\pi _{h}:\prod _{m\in J}R_{m}\to R_{h}$ d'un prodot diret ansima ai sò fator a son d'epimorfism. J'iniession canòniche $j_{h}:R_{h}\to \prod _{m\in J}R_{m}$ definìe an manera che $j_{h}(a)$ a l'ha a tanme componenta d'ìndes h e tute j'àutre componente nule, a son ëd monomorfism. Pijà $h,k\in J$, la composission $\pi _{h}j_{k}:R_{k}\to R_{h}$ a l'é l'identità cand h=k e ël morfism ch'a manda tut an $0_{R_{h}}$ dësnò. Le projession canòniche rëstrenzùe a la soma direta a son ancor dj'epimorfism e la plancia ëd minca iniession canònica a l'é un sot-ansem dla soma direta. Chèiche propietà sempie Dàit un morfism d'anej $f:A\to A'$ e un sot-anel B d'A, f(B) a l'é sot-anel d'A'. An particolar, la plancia d'f a l'é 'n sot-anel d'A'. Dimostrassion. Ël sot-ansem f(B) a l'é 'n sot-ëstrop d'A', dagià che f a l'é ëdco 'n morfism dë strop. Pijà peui $x,y\in A$, i l'oma che $f(x)f(y)=f(xy)\in f(B)$. Dàit un morfism antra anej $f:A\to A'$ e un sot-anel B' d'A', $f^{-1}(B')$ a l'é 'n sot-anel d'A. Dimostrassion. I l'oma che $f^{-1}(B')$ a l'é 'n sot-ëstrop d'A. An dzorpì, pijà $x,y\in f^{-1}(B')$, i l'oma $f(xy)=f(x)f(y)\in B'$ e donca $xy\in f^{-1}(B)$. La plancia omomorfa ëd n'anel comutativ a l'é comutativa. Dimostrassion. A basta armarché che ant ës cas-sì f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x). Si A a l'é n'anel con unità e $f:A\to A'$ a l'é n'epimorfism antra anej, con $f(1_{A})=0_{A'}$, antlora $A'=\{0_{A'}\}$. Dimostrassion. S'i pijoma qualsëssìa $a'\in A'$ e $a\in A$ con f(a)=a', i l'oma che $a'=f(a)=f(1_{A}a)=f(1_{A})f(a)=0_{A'}a'=0_{A'}$. Si $f:A\to A'$ a l'é n'epimorfism antra anej e A a l'ha n'unità $1_{A}$, antlora $f(1_{A})$ e l'é l'unità d'A'; an dzorpì, si $a\in A$ a l'é anvertìbil, ëdcò f(a) a-l l'é e $[f(a)]^{-1}=f(a^{-1})$. Dimostrassion. Pijà $a'\in A'$ e $a\in A$ con f(a)=a', i l'oma $f(1_{A})a'=f(1_{A})f(a)=f(1_{A}a)=f(a)=a'$ e donca $f(1_{A})$ a l'é unità an A'. Si $a\in A$ a l'é anvertìbil, con anvers $a^{-1}$, a-i ven che $f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(1_{A})=1_{A'}$ e donca $f(a^{-1})$ a l'é l'anvers d'f(a). La plancia ëd n'ideal I (snistr, drit o bilateral) a travers n'epimorfism $f:A\to A'$ a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral, a sconda dij cas). Dimostrassion. Butoma che I a sia n'ideal ësnistr d'A (istess rasonament s'as trata ëd n'ideal drit o bilateral). Pijoma $x\in A',a\in I$ për fé vëdde che $xf(a)\in f(I)$. Antlora a-i é $y\in A$ con f(y)=x. Parèj, $xf(a)=f(y)f(a)=f(ya)\in f(I)$. La contra-plancia 'd n'ideal J (snistr, drit o bilateral) a travers un morfism d'anej $f:A\to A'$ a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A. Dimostrassion. Për ël cas ëd n'ideal ësnistr (l'istess a val për n'ideal drit o bilateral), pijoma $x\in A,a\in f^{-1}(J)$. Antlora $f(xa)=f(x)f(a)\in J$ e donca $xa\in f^{-1}(J)$. Isomorfism Un morfism d'anej ch'a l'é na bijession a l'é dit isomorfism e ij doi anej isomorf. A-i na ven che n'isomorfism a conserva ëdcò (cand ch'a-i son) l'unità e j'anvers, visadì $f(1_{A})=1_{A'}$, $f(x^{-1})=[f(x)]^{-1}$ për minca $x\in A$. La relassion d'isomorfism $\simeq$ antra anej a l'é na relassion d'equivalensa. Fatorisassion dij morfism Ch'as pija un morfism antra anej $f:A\to B$ e n'ideal I d'A. Butoma che $I\subseteq kerf$. Antlora a-i é 'n morfism d'anej $g:A/I\to B$ tal che g(a+I)=f(a) për tuti j'$a\in A$. An efet, g a l'é bin definì e a l'é un morfism dë strop, dagià che f a-l l'é. Për la multiplicassion, i l'oma g((a+I)(b+I))=g(ab+I)=f(ab)=f(a)f(b)=g(a+I)g(b+I). A-i na ven che minca omomorfism antra anej $f:A\to A'$ a peul decomponse tanme $f=j\varphi \pi$ anté che: $\pi :A\to A/kerf$ a l'é la projession canònica, ch'a l'é n'epimorfism; $\varphi (x+kerf)=f(x)$ a l'é n'isomorfism; j a l'é ël fongament d'f(A) andrinta a A', ch'a l'é un monomorfism. An particolar, armarcoma che: minca ideal bilateral a l'é la nos ëd n'omomorfism d'anej; A/kerf a l'é isomorf a f(A); për $I=\{0_{A}\}$, A/I a l'é isomorf a A; për I=A i l'oma che A/I a l'é isomorf a $\{0_{A}\}$; si I a l'é n'ideal bilateral d'A, la projession canònica $\pi :A\to A/I$ a génera na bijession antra la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A ch'a conten-o I e la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A/I. dàit un morfism d'anej $f:A\to A'$, n'ideal bilateral $I\subseteq A$ e n'ideal bilateral $I'\subseteq A'$, si $f(I)\subseteq I'$ antlora f a passa al cossient e a génera un morfism ${\bar {f}}:A/I\to A'/I'$ definì da ${\bar {f}}(a+I)=f(a)+I'$. Esempi Ch'as consìdera la fonsion $f:\mathbb {Z} [X]\to \mathbb {Z}$ cha assòssia a minca polinòmi a coeffisient antregh sò tèrmin costant. As trata d'un morfism, dont la nos a l'é l'ansem dij polinòmi ëd tèrmin costant nul e $f/kerf\simeq \mathbb {Z}$. Minca lateral ëd kerf a l'é formà dai poliòmi ch'a partagio ël midem tèrmin costant. N'esempi ch'a jë smija a l'é ël morfism $f:\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\to \mathbb {R}$ ch'a assòssia a minca $f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ ël valor f(0). L'ideal I dle fonsion ch'a valo 0 ant l'orìgin a l'é la nos d'ës morfism; dagià che la plancia a l'é $\mathbb {R}$ (a basta mach consideré le fonsion costante) i otnoma che $(\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })/I\simeq \mathbb {R}$. Arpresentassion ëd n'anel an n'anel d'endomorfism Cosideroma n'anel A. Për minca $a\in A$ ch'as consìdera la fonsion $f_{a}:A\to A$ definìa an butand $\forall x\in A,f_{a}(x)=ax$, ciamà multiplicassion a snistra për a. As agiss d'un morfism dlë strop abelian (A,+): $f_{a}(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f_{a}(x)+f_{a}(y)$. An sa manera i l'oma definì na fonsion f da a l'anel dj'endomorfism ëd lë strop abelian (A,+). Costa-sì a l'é 'n morfism d'anej: $f(a+b)(x)=(a+b)x=ax+bx=f(a)(x)+f(b)(x)=[f(a)+f(b)](x)$; $f(ab)(x)=abx=f(a)f(b)x$. La nos d'ës morfism a l'é $\{a\in A\mid \forall x\in A,ax=0_{A}\}$, visadì l'anulator snistr d'A. Ant ël cas A a l'abia n'unità $1_{A}$, dagià che $a1_{A}=0_{A}\Leftrightarrow a=0_{A}$, cost morfism a l'é 'n monomorifsm. Donca A a resta isomorf a l'anel dle multiplicassion a snistra. Parèj i l'oma otnù che minca anel con unità a l'é isomorf a n'anel d'endomorfism ëd sò strop abelian aditiv.

Aiuto per la lettura Ayuda para la lectura Help for Reading Rintré ant la Piòla Contaté j'Aministrator Lìber për Amprende Coression ortogràfica Tastadura piemontèisa Portaj e Proget Agiut pr'ij Contributor Travajòt sempi