Spassi geométrich

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Ch'as consìdera n'ansem S nen veuid e na sot-famija nen veuida ${\mathcal {G}}$ dl'ansem dle part d'S, visadì ${\mathcal {G}}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(S))-\{\emptyset \}$ .
La cobia $(S,{\mathcal {G}})$ a l'é ciamà në spassi geométrich. J'element d'S a son dit ij pont d'S, la famija ${\mathcal {G}}$ a l'é ciamà strutura geométrica e S a l'é ël sostegn dlë spassi $(S,{\mathcal {G}})$ .

Categorìa djë spassi geométrich

A-i son doe manere naturaj dë struturé la class djë spassi geométrich tanme categorìa, scond ch'as definisso ij morfism antra jë spassi geomètrich $(S,{\mathcal {G}})$ e $(S',{\mathcal {G}}')$ 'me cole fonsion da S an S' dont le plance dj'element ëd ${\mathcal {G}}$ a son d'element ëd ${\mathcal {G}}'$ opura dont le contraplance dj'element ëd ${\mathcal {G}}'$ a son d'element ëd ${\mathcal {G}}$ . Ant ël prim cas as oten la categorìa covarianta djë spassi geométrich; ant l'àutr, la categorìa contravarianta.
J'isomorfism dle doe categorìe a son j'istess e a son cole bijession antra S e S' ch'a detèrmino dle bijession antra ${\mathcal {G}}$ e ${\mathcal {G}}'$ . Lë studi djë spassi geométrich a l'é mnà a manch d'isomorfism, visadì an identificand doi spassi geométrich cand a son isomorf.

La geometrìa 'd në spassi

Considerà në spassi geométrich $(S,{\mathcal {G}})$ , ij sò automorfism, visadì j'isomorfism antra $(S,{\mathcal {G}})$ e chiel-midem, a formo në strop, ciamà strop dë strutura d' $(S,{\mathcal {G}})$ e denotà $Aut(S,{\mathcal {G}})$ . Lë studi dle proprietà d' $(S,{\mathcal {G}})$ invariante rëspet a së strop as ciama geometrìa dlë spassi geométrich.

Si ${\mathcal {G}}$ e ${\mathcal {G}}'$ a son doe struture geométriche d'un midem ansem S, a peul esse che jë strop $Aut(S,{\mathcal {G}})$ e $Aut(S,{\mathcal {G}}')$ a sio l'istess. Antlora as dis che le doe struture geométriche a son equivalente.
Për esempi, sòn a ancàpita ansima al pian $\mathbb {R} ^{2}$ an considerand la famija ${\mathcal {R}}$ dle rete e la famija ${\mathcal {T}}$ dle terne ëd pont nen alinià: j'automorfism a son j'afinità d' $\mathbb {R} ^{2}$ .
N'àutr esempi as treuva ansima a $\mathbb {R} ^{3}$ an considerand la famija ${\mathcal {R}}'$ dle rete e la famija ${\mathcal {P}}$ dij pian: j'automorfism a son j'afinità d' $\mathbb {R} ^{3}$ .

Spassi geométrich finì

Si $(S,{\mathcal {G}})$ a l'é në spassi geométrich finì, minca bijession $f:S\to S$ ch'a manda element ëd ${\mathcal {G}}$ an element ëd ${\mathcal {G}}$ a l'é n'automorfism.

Si S a l'ha n element, ël nùmer dle struture geométriche ansima a S a l'é $2^{2^{n}}-1$ . D'àutra part, fissà na strutura geométrica ${\mathcal {G}}$ d'S, ël nùmer dle struture su S isomorfe a ${\mathcal {G}}$ a peul pa esse pì gròss che n! (ël nùmer dle bijession d'S). Donca, si g(n) a l'é 'l nùmer dle struture geométriche nen isomorfe antra 'd lor an sn'ansem d'n element, a-i ven che $g(n)\geq {\frac {2^{2^{n}}-1}{n!}}$ , donca g(n) a l'é na quantità ch'a chërs an pressa cand n a chërs (për esempi, $g(4)\geq 2731,g(5)\geq 35791393$ .

Esempi