Ansem

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


As ciama ansem na colession o cujìa d'oget, o element.

Për denoté che n'oget a a l'é element ëd n'ansem A a së scriv

a \in A.

Si nopà a a l'é nen n'element d'A, i scrivoma

a \notin A.

An costa concession antuitiva, n'ansem a l'é definì da j'element ch'a lo compon-o; sòn a veul dì che si A e B a son d'ansem con ij midem element, antlora A=B.

Antra tuti j'ansem a-i na j'é un sensa element: a l'é ciamà ansem veuid e denotà  \emptyset .

Arpresentassion dj'ansem[modìfica | modifiché la sorgiss]

Na manera për arpresenté n'ansem a l'é cola ëd buté antra paréntesi grafe na lista dij sò element: për esempi,

A={0,1,2,3}.

Costa a l'é 'dcò dita arpresentassion tabular ëd l'ansem.

N'ansem {a} formà da n'element sol as dis ëdcò singolèt; n'ansem {a,b} con doi element a l'é ëdcò ciamà cobia.

Sot-ansem[modìfica | modifiché la sorgiss]

Si A e B a son d'ansem e minca element d'A a l'é ëdcò n'element ëd B, antlora as dis che A a l'é un sot-ansem ëd B (A a l'é contnù an B), lòn ch'as denòta

A \subseteq B.

Si A a l'é nen contnù an B, i podoma scrive

 A \nsubseteq B.

La relassion  \subseteq as ciama anclusion. A l'ha le propietà sì-dapress:

  • riflessività: A \subseteq A;
  • transitività: A \subseteq B \wedge B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C;
  • anti-simetrìa:A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Rightarrow A=B.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

Operassion antra ansem[modìfica | modifiché la sorgiss]

Fissà j'ansem A e B, as peulo fabriché an manera natural d'àutri ansem:

  • L'union A \cup B d'A e B.
  • L'antërsession A \cap B d'A e B.
  • Ël prodot cartesian A \times B d'A e B.
  • As ciama diferensa d'A e B, denotà A-B (o A \setminus B) l'ansem ëd coj element ch'a aparten-o a A ma pa a B. Si, an particolar, B \subseteq A, l'ansem A-B a l'é ëdcò dit complementar ëd B andrinta a A.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

Fissoma A={4,5,6,7},B={2,3,4,7}. Antlora:

  • A \cup B= \{ 2,3,4,5,6,7 \} ,
  • A \cap B= \{ 4,7 \} ,
  • A-B={5,6},
  • B-A={2,3}.

Propietà[modìfica | modifiché la sorgiss]

Antra le propietà dj'operassion antra ansem a-i son cole sì-dapress:

  • A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A,
  • (A \cup B) \cup C=A \cup (B \cup C), (A \cap B) \cap C=A \cap (B \cap C),
  • A \subseteq A \cup B, B \subseteq A \cup B,
  • A \cap B \subseteq A, A \cap B \subseteq B,
  • A \cup B=A \Leftrightarrow B \subseteq A,
  • A \cap B=A \Leftrightarrow A \subseteq B,
  • A \cup A=A ,A \cap A=A,
  • A \cup\emptyset =A, A \cap\emptyset = \emptyset ,
  • A- \emptyset =A, A-A= \emptyset .

A gropé le doe operassion d'union e d'antërsession a-i son le propietà distributive:

  • A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C),
  • A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C).

Për esempi, për dimostré costa deriera ugualiansa, ch'as nòta dnans a tut che:

A \cap B \subseteq A,A \cap C \subseteq A,
A \cap B \subseteq B\cup C,A\cap C\subseteq B\cup C,

e donca

(A \cap B) \cup (A \cap C) \subseteq A \cap (B \cup C).

Për l'àutra diression, ch'as consìdera un qualsëssìa x \in A \cap (B \cup C). Antlora x \in A e o bin  x\in B opura x \in C. Ant ël prim cas, x \in A \cap B, ant ël second, x \in A \cap C. Comsëssìa, x \in (A \cap B) \cup (A \cap C).