Prodot cartesian

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ël prodot cartesian dj'ansem A e B, denotà A\times B, a l'é la colession ëd tute le cobie ordinà (a,b) anté che a \in A,b \in B.

Propietà[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Si A_1 \subseteq A e B_1 \subseteq B, antlora A_1 \times B_1 \subseteq A \times B.

Ël prodot cartesian a l'é nen comutativ, ma a l'é distributiv, a snistra e a drita, rëspet a l'union e a l'antërsession:

  • (A \cup B) \times C=(A \times C) \cup (B \times C),
  • A \times (B \cup C)=(A \times B) \cup (A \times C),
  • (A \cap B) \times C=(A \times C) \cap (B \times C),
  • A \times (B \cap C)=(A \times B) \cap (A \times C).

Generalisassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Pì an general, si A_1, \ldots ,A_n a son d'ansem, sò prodot cartesian A_1 \times\ldots\times A_n a l'é l'ansem ëd tute j'n-uple ordinà (a_1, \ldots ,a_n) andoa a_1 \in A_1, \ldots ,a_n \in A_n.

Cand tuti ij fator A_i a son uguaj a 'n midem ansem A, sò prodot cartesian a l'é ëdcò dit potensa cartesian-a e denotà A^n. N'esempi amportant a l'é cand tuti ij fator a son uguaj a  \mathbb R : la potensa cartesian-a a smon un model matemàtich ëd lë spassi ëd dimension n.
As definiss la diagonal d'A^2 tanme  \{ (a,a) \}_{a \in A}.

Ancor pì an general, as peul definisse ël prodot cartesian ëd na famija qualsëssìa d'ansem  \{ A_{ \alpha } \}_{ \alpha \in T} anté che T a l'é n'ansem nen veuid d'ìndes. Antlora sò prodot cartesian a l'é

 \prod_{ \alpha\in T}A_{ \alpha }= \{ f:T \rightarrow\bigcup_{ \alpha\in T}A_{ \alpha } \mid\forall\alpha\in T \ f( \alpha ) \in A_{ \alpha } \} .