Teorema ëd categorìa ëd Baire

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ël teorema ëd categorìa ëd Baire a fortiss che an në spassi métrich complet, l'antërsession ëd minca famija numeràbil ëd sot-ansem duvert satì a l'é satìa. N'àutra formolassion a l'é che l'union ëd na famija numeràbil ëd sot-ansem sarà con anterior veuid a l'ha anterior veuid.

Cost teorema a l'é stàit dimostrà ëd fasson indipendenta da Osgood dël 1898 e da Baire dël 1899.

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdero j'ansem duvert satì O_n e ch'as denòta

G= \bigcap_{n \in \mathbb N }O_n.

A ventà dimostré che G a l'é satì. Ch'as fissa antlora n'ansem duvert e nen veuid U, un pont x_0 \in U e un nùmer r_0>0 taj che

 \overline{ \mathcal B_{r_0}(x_0)} \subseteq U,

anté che  \mathcal B_r(x) a l'é la sfera ëd sènter x e raj r.

Dagià che O_0 a l'é duvert e satì, a-i son x_1 \in \mathcal B_{r_0}(x_0) \cap O_0 e 0<r_1< \frac{r_0}2 taj che

 \overline{ \mathcal B_{r_1}(x_1)} \subseteq \mathcal B_{r_0}(x_0) \cap O_0.

Për andussion as peulo antlora definì dle sequense x_n,r_n taj che

 \left \{ \begin{array}{l} \overline{ \mathcal B_{r_{n+1}}(x_{n+1})} \subseteq \mathcal B_{r_n}(x_n) \cap O_n, \\ 0<r_{n+1}< \frac{r_n}2 \end{array} \right . .

Donca x_n a l'é na sequensa ëd Cauchy. Ch'as denota con zlìmit. Dagià che

 \forall n,p \in \mathbb N ,x_{n+p} \in \mathcal B_{r_n}(x_n) ,

al lìmit për p \rightarrow\infty as oten  \forall n \in \mathbb N ,z \in \overline{ \mathcal B_{r_n}(x_n)} . An particolar,

z \in U \cap G.