Teorema dla fonsion anversa

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ch'as consìdera na bijession f:(x- \alpha ,x+ \beta ) \to (y-a,y+b), con f(x)=y. Ch'as denòta con g la fonsion anversa. Ël teorema dla fonsion anversa a fortiss che si f a l'é derivàbil ant ël pont x con f'(x)\neq 0 e g a l'é continua ant ël pont y, antlora g a l'é derivàbil an y e soa derivà a l'é g'(y)= \frac 1{f'(x)} .

N'osservassion amportanta[modìfica | modifiché la sorgiss]

A venta armarché che mach j'ipòtesi che f:(x -\alpha ,x+ \beta ) \to (y-a,y+b) a sia bijetiva e derivàbil an x e che f'(x) \neq 0 a basto pa a garantì che f^{-1} a sia continua an y=f(x).

La dimostrassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Da la derivabilità d'f, i l'oma che për h \in (- \alpha , \beta ) a-i val la relassion

f(x+h)-f(x)=f'(x)h+ \sigma (h)h, con  \lim_{h \rightarrow 0} \sigma (h)=0.

Pijà k \in (-a,b), ch'as consìdera h tal che x+h=f^{-1}(y+k), visadì h=f^{-1}(y+k)-f^{-1}(y). Antlora k=(f'(x)+ \sigma (h))h.
Dagià che f^{-1} a l'é continua an y, a-i na ven che  \lim_{k \rightarrow 0}h= \lim_{k \rightarrow 0}f^{-1}(y+k)-f^{-1}(y)=0. An dzorpì, as peul armarchesse che, dagià che f'(x) \neq 0 e  \sigma a l'é infinitésim për h \rightarrow 0, i l'oma f'(x)+ \sigma (h) \neq 0 cand k a resta an n'anviron assè cit ëd 0. Donca

 \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(y+k)-f^{-1}(y)}k = \lim_{k \rightarrow 0} \frac 1{f'(x)+ \sigma (h)} = \frac 1{f'(x)} .

N'esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera la fonsion y=f(x)=tanx, dont la derivà a l'é f'(x)=1+ \tan^2x e l'anversa a l'é la fonsion x=g(y)=f^{-1}(y)= \arctan y. An aplicand ël teorema i otnoma

g'(y)=f^{ \prime -1}(y)= \frac 1{1+ \tan^2x} = \frac 1{1+y^2}.