Fonsion continua

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ël concet ëd fonsion continua a l'é un dij pì amportant ant la matemàtica e a l'é gropà s-ciass a col ëd lìmit.

Definission[modìfica | modifiché la sorgiss]

Se X e Y a son dë spassi topològich, na fonsion f:X \to Y as dis continua si la contra-imàgin ëd minca sot-ansem duvert d'Y a l'é 'n sot-ansem duvert d'X.

Formolassion equivalente[modìfica | modifiché la sorgiss]

A-i son d'àutre manere equivalente ëd fortì la continuità 'd na fonsion. Ch'as considera torna na fonsion f:X \to Y an tra jë spassi topològich X e Y:

  • f a l'é continua si e mach si la contra-imàgin ëd minca sot-ansem sarà d'Y a l'é 'n sot-ansem sarà d'X;
  • f a l'é continua si e mach si f( \bar S ) \subseteq \overline{f(S)} për minca S \subseteq X.

Sa dariera formolassion a dà cont dl'intuission ch'a-i é daré al concet ëd fonsion continua: na fonsion a l'é continua cand, dàit n'ansem S e 'n pont x tacà s-ciass a S, l'imàgin d'x a l'é tacà s-ciass a l'imàgin d'S.

Teorema fondamentaj an sle fonsion continue[modìfica | modifiché la sorgiss]

La continuità 'd na fonsion f: X \to Y a dipend mach d'la topologìa ansima a f(X):

Teorema. Na fonsion f:X \to Y a l'é continua si e mach si f:X \to f(X) a-l l'é.

Teorema. Si f:X \to Y a l'é continua e A \subseteq X, antlora la restrission f|_A:A \to Y a l'é continua.

Për controlé si na fonsion a l'é continua a basta controlé la definission ansima a na bas dël codomini:

Teorema. Ch'as considera na fonsion f:X \to Y e na bas B d'Y. Antlora f a l'é continua si e mach si f^{-1}(U) a l'é duvert për minca U \in B.

Le fonsion continue a son sarà për composission:

Teorema. Si f:X \to Y,g:Y \to Z a son continue, antlora ëdcò g \circ f:X \to Z a l'é continua.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • L'identità X \to X a l'é na fonsion continua.
  • Si Y a l'é në spassi topològich banal, antlora minca f:X \to Y a l'é continua.
  • Si X a l'é në spassi topològich discret, antlora minca f:X \to Y a l'é continua.
  • La curva ëd Peano a l'é na fonsion continua [0,1] \to \mathbb R^2 .

Fonsion continue e spassi métrich[modìfica | modifiché la sorgiss]

La descrission ëd la continuità dle fonsion an tra spassi métrich as peul desse an dovrand le distanse o ij lìmit dle sequense:

Teorema. Na fonsion f:X \to Y an tra jë spassi métrich (o bele mach pséudo-métrich) (X,d) e (Y,d') a l'é continua si e mach si, dàit \varepsilon >0 a-i é \delta >0 con la proprietà che d(a,b)< \delta \Rightarrow d'(f(a),f(b))< \varepsilon .

Teorema. Na fonsion f:X \to Y an tra jë spassi métrich X e Y a l'é continua si e mach si për minca sequensa convergent (x_n) d'X, la sequensa (f(x_n)) a convergg e a val l'ugualiansa f( \lim_{n \rightarrow \infty } x_n)= \lim_{n \rightarrow \infty } f(x_n).

Continuità ant un pont[modìfica | modifiché la sorgiss]

Dàita la fonsion f:X \to Y an tra jë spassi topològich X e Y, e pijà un pont x \in X as dis che f a l'é continua an x si la contra-imàgin ëd minca anviron d'f(x) a l'é n'anviron d'x.
Ij concet ëd continuità e continuità ant un pont a son gropà dal teorema sì da press.

Teorema. Na fonsion f:X \to Y an tra jë spassi topològich X e Y a l'é continua si e mach si a l'é continua an tuti ij pont d'X.

Omeomorfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Na bijession f:X \to Y an tra jë spassi topològich X e Y as dis n'omeomorfism cand sia f che soa anversa f^{-1} a son continue. Ant ës cas-sì as dis che X e Y a son omeomòrfich. N'omeomorfism a l'é na bijession ch'a conserva tute le proprietà topològiche. La relassion d'omeomorfism a l'é na relassion d'equivalensa an tra jë spassi topològich.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Doi spassi banal, o doi spassi discret, a son omeomòrfich si e mach si a l'han la midema cardinalità.
  • La linia real e minca anterval duvert, con soe topologìe sòlite, a son omeomòrfich.
  • Doi antervaj sarà dla linia real, con soe topologìe sòlite, a son omeomòrfich.
  • Ël pian euclidéo  \mathbb R ^2 e 'l sercc duvert \{ (x,y) \mid x^2+y^2<1 \} a son omeomòrfich.

Topologìe déboj[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ël concet ëd fonsion continua a peul esse dovrà për la definission ëd na topologìa ansima a n'ansem X s'as dispon ëd na colession ëd fonsion a valor andrinta a dë spassi topològich: dàita na colession ëd fonsion F= \{ f_a:X \to Y_a \} anté che minca Y_a a l'é në spassi topològich, a-i é na topologìa pì cita ëd tute ansima a X ch'a rend continue tute le fonsion f_a. Costa topologìa as ciama topologìa débol generà da F.