Equassion algébrica

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

N'equassion algébrica a l'é n'ugualiansa dla forma $p(x)=0$ , anté che $p(x)$ a l'é un polinòmi. Ël gré dël polinòmi a l'é ëdcò ciamà gré dl'equassion. Ij coefissient dël polinòmi a son ciamà coefissient ëd l'equassion. Minca x ch'a sodisfa l'ugualiansa p(x)=0 a l'é ciamà solussion o rèis.

Ël teorema fondamental dl'àlgebra

Ël teorema fondamental dl'àlgebra a fortiss che minca equassion algébrica a coefissient compless ëd gré $n\geq 1$ a l'ha 'd solussion.
Parèj, si $p(x)=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{0}=0$ a l'é l'equassion, con $a_{n}\neq 0$ e si $x_{1}$ a n'é solussion, për ël teorema 'd Ruffini l'equassion a resta equivalenta a $a_{n}(x-x_{1})q(x)$ anté che q(x) a l'é 'n polinòmi mònich ëd gré n-1. Si n-1>0 as peul apliché torna 's rasonament fin-a a oten-e n'equassion equivalenta dla forma $a_{n}(x-x_{1})^{\mu _{1}}\cdot \ldots \cdot (x-x_{r})^{\mu _{r}}=0$ anté che $x_{1},\ldots ,x_{r}$ a son le solussion distinte dl'equassion e $\mu _{1},\ldots ,\mu _{r}$ soe multiplissità (o órdin), con $\mu _{1}+\ldots +\mu _{r}=n$ . Da sòn a-i ven che përchè $\xi$ a sia solussion ëd multiplissità $\mu$ dl'equassion p(x)=0 a venta e a-i basta che $p(\xi )=p'(\xi )=\ldots =p^{(\mu -1)}(\xi )=0,p^{(\mu )}(\xi )\neq 0$ , anté che $p',\ldots ,p^{(\mu )}$ a son le prime $\mu$ derivà ëd p.

Ch'as considera adess n'equassion algébrica p(x)=0 dont tuti ij coefissient a sio 'd reaj e dont $\alpha +i\beta$ a sia solussion ëd multiplissità $\mu$ ; antlora ëdcò $\alpha -i\beta$ a l'é solussion dël midem órdin $\mu$ . Donca minca equassion algébrica a coefissient reaj ëd gré dispar a l'ha almanch na solussion real.

Fórmole d'arzolussion

J'equassion algébriche ëd gré fin-a al quart a admëtto fórmole algébriche për trové le solussion, visadì le solussion a son otnùe an fonsion dij coefissient an dovrand na quantità finìa d'adission, multiplicassion, sotrassion, division, estrassion ëd rèis. Sòn a l'é già pì nen possìbil për j'equassion algébriche generaj ëd quint gré, 'me dimostrà da Abel dël 1824 (la dimostrassion a l'é stàita pùblicà an sël giornal ëd Crelle).

N'enonsià esplìcit ëd condission necessarie e bastèivoj për che n'equassion algébrica as peussa arzòlve ëd fasson algébrica a l'é stàit otnù da Galois. An terminologìa moderna a fortiss che n'equassion algébrica a l'é arzolùbil për radicaj si e mach si lë strop ëd Galois associà a l'é në strop arzolùbil.

Equassion ëd 1^m gré

Dàita n'equassion ëd prim gré ax+b=0 a coefissient ant un camp, con $a\neq 0$ , l'ùnica solussion a l'é $x=-{\frac {b}{a}}$ .

Equassion ëd 2^nd gré

Përchè n'equassion ëd second gré $ax^{2}+bx+c=0$ a coefissient ant un camp, con $a\neq 0$ , a l'abia 'd solussion, a venta e a-i basta ch'a-i sia ant ël camp n'element $\delta$ tal che $\delta ^{2}=b^{2}-4ac$ . Ant ës cas-sì le solussion a son ${\frac {-b\pm \delta }{2a}}$ .

Relassion an tra coefissient e rèis

Ant l'equassion algébrica $a_{n}x^{n}+\ldots +a_{0}=0$ ëd gré n, la soma dij prodot dle solussion, arpetùe conforma a soe multiplissità, pijà a k a la vira, a resta ugual a $(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$ . An particolar la soma dle solussion a l'é $-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}$ e sò prodot a l'é $(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}$ .

Discriminant

Ël discriminant dl'equassion algébrica $a_{n}x^{n}+\ldots +a_{0}=0$ a l'é 'l nùmer

D=a_{n}^{2n-2}det{\begin{bmatrix}1&1&1&\ldots &1\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&\ldots &\alpha _{n}\\\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\alpha _{3}^{2}&\ldots &\alpha _{n}^{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\alpha _{1}^{n-1}&\alpha _{2}^{n-1}&\alpha _{3}^{n-1}&\ldots &\alpha _{n}^{n-1}\end{bmatrix}}=a_{n}^{2n-2}\prod _{i>j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2},

anté che $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ a son le solussion arpetùe conforma a soe multiplissità. Për esempi, ël discriminant ëd n'equassion ëd second gré a rèis reaj $ax^{2}+bx+c=0$ a l'é ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$ .
Donca, për che n'equassion algébrica a l'abia solussion mùltiple, a venta e a-i basta che sò discriminant a sia zero. Ël determinant ch'a compariss ant la fórmola dël discriminant as ciama determinant ëd Cauchy-Vandermonde.

Nùmer algébrich

Ij nùmer compless ch'a son solussion ëd n'equassion algébrica a coefissient antregh as ciamo nùmer algébrich. Tuti ij rassionaj a son algébrich, përchè solussion ëd n'equassion ëd prim gré a coefissient antregh. Ij nùmer nen algébrich as diso trassendent.

L'ansem dij nùmer algèbrich a l'é numeràbil, antant che col dij nùmer trassendent a-l l'é nen.

Stòria

Ij prim esempi d'equassion algébriche ch'a son rivane as treuvo ant ël papir Rhind, apopré dël 1700 o 1650 aGC.