Equassion algébrica

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.


N'equassion algébrica a l'é n'ugoaliansa dla forma , anté che a l'é un polinòmi. Ël gré dël polinòmi a l'é ëdcò ciamà gré dl'equassion. Ij coefissient dël polinòmi a son ciamà coefissient ëd l'equassion. Minca x ch'a sodisfa l'ugualiansa p(x)=0 a l'é ciamà solussion o rèis.

Ël teorema fondamental dl'àlgebra[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ël teorema fondamental dl'àlgebra a fortiss che minca equassion algébrica a coefissient compless ëd gré a l'ha 'd solussion.
Parèj, si a l'é l'equassion, con e si a n'é solussion, për ël teorema 'd Ruffini l'equassion a resta equivalenta a anté che q(x) a l'é 'n polinòmi mònich ëd gré n-1. Si n-1>0 as peul apliché torna 's rasonament fin-a a oten-e n'equassion equivalenta dla forma anté che a son le solussion distinte dl'equassion e soe multiplissità (o órdin), con . Da sòn a-i ven che përchè a sia solussion ëd multiplissità dl'equassion p(x)=0 a venta e a-i basta che , anté che a son le prime derivà ëd p.

Ch'as considera adess n'equassion algébrica p(x)=0 dont tuti ij coefissient a sio 'd reaj e dont a sia solussion ëd multiplissità ; antlora ëdcò a l'é solussion dël midem órdin . Donca minca equassion algébrica a coefissient reaj ëd gré dispar a l'ha almanch na solussion real.

Fórmole d'arzolussion[modìfica | modifiché la sorgiss]

J'equassion algébriche ëd gré fin-a al quart a admëtto fórmole algébriche për trové le solussion, visadì le solussion a son otnùe an fonsion dij coefissient an dovrand na quantità finìa d'adission, multiplicassion, sotrassion, division, estrassion ëd rèis. Sòn a l'é già pì nen possìbil për j'equassion algébriche generaj ëd quint gré, 'me dimostrà da Abel dël 1824 (la dimostrassion a l'é stàita pùblicà an sël giornal ëd Crelle).

N'enonsià esplìcit ëd condission necessarie e bastèivoj për che n'equassion algébrica as peussa arzòlve ëd fasson algébrica a l'é stàit otnù da Galois. An terminologìa moderna a fortiss che n'equassion algébrica a l'é arzolùbil për radicaj si e mach si lë strop ëd Galois associà a l'é në strop arzolùbil.

Equassion ëd 1m gré[modìfica | modifiché la sorgiss]

Dàita n'equassion ëd prim gré ax+b=0 a coefissient ant un camp, con , l'ùnica solussion a l'é .

Equassion ëd 2nd gré[modìfica | modifiché la sorgiss]

Përchè n'equassion ëd second gré a coefissient ant un camp, con , a l'abia 'd solussion, a venta e a-i basta ch'a-i sia ant ël camp n'element tal che . Ant ës cas-sì le solussion a son .

Relassion an tra coefissient e rèis[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ant l'equassion algébrica ëd gré n, la soma dij prodot dle solussion, arpetùe conforma a soe multiplissità, pijà a k a la vira, a resta ugual a . An particolar la soma dle solussion a l'é e sò prodot a l'é .

Discriminant[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ël discriminant dl'equassion algébrica a l'é 'l nùmer

anté che a son le solussion arpetùe conforma a soe multiplissità. Për esempi, ël discriminant ëd n'equassion ëd second gré a rèis reaj a l'é .
Donca, për che n'equassion algébrica a l'abia solussion mùltiple, a venta e a-i basta che sò discriminant a sia zero. Ël determinant ch'a compariss ant la fórmola dël discriminant as ciama determinant ëd Cauchy-Vandermonde.

Nùmer algébrich[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ij nùmer compless ch'a son solussion ëd n'equassion algébrica a coefissient antregh as ciamo nùmer algébrich. Tuti ij rassionaj a son algébrich, përchè solussion ëd n'equassion ëd prim gré a coefissient antregh. Ij nùmer nen algébrich as diso trassendent.

L'ansem dij nùmer algèbrich a l'é numeràbil, antant che col dij nùmer trassendent a-l l'é nen.

Stòria[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ij prim esempi d'equassion algébriche ch'a son rivane as treuvo ant ël papir Rhind, apopré dël 1700 o 1650 aGC.