Camp (matemàtica)

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


An matemàtica, un camp a l'é na strutura algébrica. Pì ëd precis, a l'é n'ansem anté ch'as peulo fesse d'adission, sotrassion, multiplicassion e division (për bon-a part dj'element).

Ij camp pì clàssich a son ël camp dij nùmer rassionaj (denotà \mathbb{Q}), ël camp dij nùmer reaj (denotà \mathbb{R}), ël camp dij nùmer compless (denotà \mathbb{C}) e ël camp \mathbb{F}_p dle class ëd resta mòdul p anté che p a l'é un nùmer prim.

La teorìa dij camp a l'é ciamà da cheidun teorìa ëd Galois; tutun, la teorìa ëd Galois a l'é bin ël métod dë studi ch'as àplica an particolar ai camp, lòn ch'a na forma l'esempi stòrich, ma a së spantia ëdcò a motobin d'àutri setor, dont lë studi dj'equassion diferensiaj (teorìa ëd Galois diferensial), o dj'arvestiment.

Definission e esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

Definission[modìfica | modifiché la sorgiss]

Un camp a l'é n'ansem K dotà ëd doe operassion, denotà soens + e ×, ch'a sodisfo le proprietà sì-da press:

  • (K, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0;
  • (K - {0}, ×) a forma un grop comutativ (cheidun ant la definission ëd camp a ciama nen che la multiplicassion a sia comutativa; d'àutri, ant ës cas-sì, a parlo ëd còrp);
  • la multiplicassion a l'é distributiva rëspet a l'adission, visadì
\forall (a,b,c) \in K^3, \quad a\times (b + c) = a \times b + a \times c;

As parla antlora dël camp (K, +, ×).

Ij prim camp ëstudià a son ëstàit j'ansem ëd nùmer (rassionaj, réaj, compless, algébrich).

Esempi ëd camp[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • L'ansem dij nùmer rassionnaj, (\mathbb Q, + ,\times) a l'é un camp.
  • L'ansem dij nùmer reaj (\mathbb R, + ,\times) a l'é un camp.
  • L'ansem dij nùmer compless (\mathbb C, + ,\times) a l'é un camp.
  • An aritmética modular, l'ansema (\mathbb Z/p\mathbb Z, + ,\times) anté che p a l'é un nùmer prim a l'é un camp.
  • L'ansem ëd tute le fonsion rassionaj reaj a l'é 'n camp, rëspet a j'operassion d'adission e multiplicassion ëd fonsion.

Un sot-camp d'un camp K a l'é 'n sot-ansem nen veuid L ëd K, stàbil rëspet a + e \times, tal che L con j'operassion ardità da K a sia ancor un camp.

Caraterìstica[modìfica | modifiché la sorgiss]

S'a-i é n'antregh natural n>0 tal che 1 + 1 + \cdots + 1 (con n termo) a l'é zero, as dis che la caraterìstica dël camp ël pì cit antegr nen nul ch'a l'ha costa proprietà. S'a-i na i-é gnun, as dis che ël camp a l'é ëd caraterìstica zero (o infinìa).

Ël camp \R a l'ha caraterìstica zero, mentre che ël camp (\mathbb Z/p\mathbb Z) a l'é ëd caraterìstica p. As dimostra ch'un camp a l'ha tavòta caraterìstica 0 opura un nùmer prim.

Camp finì[modìfica | modifiché la sorgiss]

Costi a son ij camp dont ël nùmer dj'element a l'é finì. Lë studi dij camp finì a l'é rivà tard ant lë studi dij camp. As dimostra che un ant un còrp finì la multiplicassion a l'é tavòta comutativa, e che soa cardinalità a l'é un nùmer prim.

Camp e anel[modìfica | modifiché la sorgiss]

L'ansema (\mathbb Z, +, \times) a l'é pà un camp përchè la pì part dj'element ëd \mathbb Z^* a son nen anvertìbij: për esempi, a-i é gnun antegr relativ n tal che 2n = 1, donca 2 a l'é nen anvertìbil.

Pì an general, n'ansem A dotà ëd doe operassion + e × taj che:

  • (A, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0;
  • (A-{0}, ×) a forma un monòid;
  • la multiplicassion a l'é distributiva për l'adission (a snistra tanme a drita);

a l'é n'anel unitari.

Se l'anel a l'é 'n domini d'antegrità, visadì a l'é comutativ e

\forall (a,b) \in A^2, \quad ab=0 \Rightarrow a=0 \hbox{ opura } b=0,

l'anel a l'é scasi un camp përchè a-j manca mach pì l'anvertibilità për la multiplicassion. As a dimostra antlora che as a peul mojé l'anel an sò camp dle frassion, che a l'é ël pì cit camp ch'a conten l'anel.

Esempi : \mathbb Q a l'é ël camp dle frassion ëd \mathbb Z.

Camp e spassi vetoriaj[modìfica | modifiché la sorgiss]

An ancaminand con ël camp \R, a l'é natural d'anteressesse a  \R^n, l'ansem dj'n-uple ëd reaj. As peulo definisse ëd fasson natural n'adission e na multiplicassion për un real. La strutura definìa parèj (n'adission anterna ch'a dà a l'ansem na strutura ëd grop comutativ e na multiplicassion esterna ch'a l'ha dle proprietà ëd distributività e d'assossiatività) a l'é ciamà spassi vetorial ansima a \R. A ven antlora natural defini lòn ch'a l'é në spassi vetorial ansima a un camp K qualsëssìa.

Camp e equassion algébriche[modìfica | modifiché la sorgiss]

Lë studi dij polinòmi a coefissient ant un camp e l'arserca ëd soe rèis a l'ha motobin dësvlupà la nossion ëd camp. Si f a l'é un polinòmi ëd gré n ansima a un camp K, l'equassion f(x) = 0 a l'é n'equassion algébrica an K. Se, an dzorpì, f a l'é un polinòmi ireduvìbil, l'equassion as dis ireduvìbil. Cand n a l'é ugual o pì grand che doi, trové le solussion ëd n'equassion parèj a ciama ëd butesse ant un camp pì grand che K, visadì n'estension ëd camp.

Për esempi, l'equassion x^2-2 = 0 a l'é ireduvìbil an \mathbb Q ma a l'ha 'd rèis an  \mathbb R o, con pì precision, an \mathbb Q[\sqrt 2]. L'equassion x^2+1 = 0 a l'ha nen ëd solussion an \mathbb R ma a 'n n'ha an \mathbb C o, con pì precision, an \mathbb Q[i].

Ël camp dë s-cianch d'un polinòmi a l'é un camp minimal ch'a conten K e na rèis d'f.

Ël camp ëd dëscomposission ëd f a l'é ël pì cit camp ch'a conten K parèj che tute le rèis d'f.

Lë studi dij camp ëd dëscomposission d'un polinòmi e dël grop ëd përmutassion ëd soe rèis a forma la branca dla matemàtica ch'as ciama la teorìa ëd Galois.

Camp ordinà[modìfica | modifiché la sorgiss]

Un camp ordinà a l'é un camp K dotà ëd na relassion d'órdin  \leq ch'a sodisfa le condission:

 \forall x,y,z \in K,x \leq y \Rightarrow x+z \leq y+z ,
 \forall x,y,z \in K,z \geq 0 \wedge x \leq y \Rightarrow zx \leq zy .

Da sòn a-i ven ëdcò che

z>0 \wedge x<y \Rightarrow zx<zy.

An dzorpì, për minca element x, un a l'ha x^2 \geq 0. An efet, 0^2=0 \geq 0 e x^2 \geq x0=0 cand x>0; si nopà x<0, antlora 0<-x e donca da x<0 un a oten -x^2<-x0=0, dont 0<x^2.
'Me conseguensa, 0<1^2=1 e, si x>0, ëdcò x+1>0 dagià che 0<1<x+1.

Për tut camp ordinà K a-i é, e a l'é ùnica, n'iniession  \rho : \mathbb Q \to K ch'a rispeta la strutura, visadì:

  •  \rho (0)=0, \rho (1)=1,
  •  \rho (x+y)= \rho (x)+ \rho (y), \rho (xy)= \rho (x) \rho (y),
  • x \leq y \Leftrightarrow\rho (x) \leq\rho (y).

L'órdin ëd tut camp ordinà a l'é satì e a l'ha ni element mìnim, ni màssim.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ël camp ëd le fonsion rassionaj reaj a l'é ordinà da la relassion

f \leq g \Leftrightarrow\exists x, \forall y \geq x,f(y) \leq g(y).

As trata d'un camp nen archimedien.

Àutre branche dë studi[modìfica | modifiché la sorgiss]

As artreuva la teorìa dij camp ant lë studi ëd chèiche fonsion tanme le fonsion rassionaj o le fonsion elìtiche.

Stòria[modìfica | modifiché la sorgiss]

Fin-a al sécol ch'a fa XIX, j'ansem ëd nùmer a smijavo tant naturaj che gnun a l'era preocupasse ëd dèje un nòm, e gnanca ëd defini con precision soa strutura. Tutun, con lë s-ciòde dlë studi dij nùmer algébrich, a son ëspontà ansem ëd nùmer diferent daj rassionaj, ij reaj e ij compless. A l'é vnuje da manca ëd precisè la strutura ëd camp, peuj la nossion d'antegr ansima a's camp e, për finì, la nossion d'anel. Coste nossion a son euvra dla scòla alman-a. A l'é sàit Richard Dedekind che a l'ha definì për la prima vira la strutura ëd camp (Körper an alman) e costa a l'é la rason për che soens ij camp a son denotà K. La strutura ëd camp a rintra an na gerarchìa ch'a comprend ij monòid, ij grop, j'anej, ij còrp e a l'é a l'adoss dla definission dë spassi vetorial, e d'àlgebra.