Teorema dla fonsion duverta

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.


Ël teorema dla fonsion duverta a l'é dovù a Banach. A fortiss che si E e F a son dë spassi ëd Banach e T a l'é n'operador linear continuo e surietiv da E a F, antlora a-i é na costanta c>0 tal che la sfera ëd sènter 0 e raj c an F a l'é contnùa ant la plancia scond T dla sfera ëd sènter 0 e raj 1 d'E.

Ës teorema a ìmplica che T a manda ansem duvert d' E an ansem duvert d'F, dont sò nòm. An efet, ch'as consìdera un sot-ansem duvert U d'E nen veuid e ch'as pija un pont . Donca për chèich . Antlora a esist r>0 tal che, denotà la sfera ëd sènter e raj r, un a l'ha , visadì . Antlora . Për l'ipòtesi, , dont e T(U) a arzulta esse duvert.

Un corolari[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdero jë spassi ëd Banach E e F e n'operador linear continuo e bijetiv . Antlora a l'é continuo.

Dimostrassion. Dal teorema, un a sa che për tuti j' taj che un a l'ha . Për omogenità,

,

donca a l'é continuo.

N'aplicassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera në spassi vetorial E dotà 'd norme e taj che E a sia në spassi ëd Banach rëspet a tute doe se norme. Butoma, an dzorpì, che

.

Antlora

,

visadì le doe norme a son equivalente.

A basta an efet apliché ël corolari a jë spassi ëd Banach e a la fonsion identità.

La dimostrassion dël teorema[modìfica | modifiché la sorgiss]

A conven fé la dimostrassion an toi tòch:

1. Si a l'é n'operador linear e surietiv, antlora

2. Si a l'é n'operador linear continuo ch'a sodisfa sa dariera relassion, antlora

.

Dimostrassion dla prima part[modìfica | modifiché la sorgiss]

Për tut n natural positiv, ch'as buta

X_n=n \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math>.

Dagià che T a l'é surietiv, a-i na ven che

e dal teorema ëd categorìa ëd Baire as treuva tal che

.

Ch'as pijo antlora taj che

.

An particolar, e, për simetrìa, ëdcò . An somand e tnisend da ment che a l'é bombà, un a oten

,

dont la tesi.

Dimostrassion dla sconda part[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as fissa con , con ël but ëd trové tal che e T(x)=y.
Da la condission admetùa, un a l'ha che

.

An sernend un a treuva tal che

e .

An aplicand l'istess rasonament con al pòst d'y e con , as treuva tal che

e .

An seghitand përparèj, un a fàbrica na sequensa tal che

e .

Donca la sequensa a l'é ëd Cauchy. Ch'as denòta con xlìmit. Antlora e y=T(x) përchè T a l'é continuo.