Teorema dla fonsion duverta

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Ël teorema dla fonsion duverta a l'é dovù a Banach. A fortiss che si E e F a son dë spassi ëd Banach e T a l'é n'operador linear continuo e surietiv da E a F, antlora a-i é na costanta c>0 tal che la sfera ëd sènter 0 e raj c an F a l'é contnùa ant la plancia scond T dla sfera ëd sènter 0 e raj 1 d'E.

Ës teorema a ìmplica che T a manda ansem duvert d' E an ansem duvert d'F, dont sò nòm. An efet, ch'as consìdera un sot-ansem duvert U d'E nen veuid e ch'as pija un pont $y_{0}\in T(U)$ . Donca $y_{0}=T(x_{0})$ për chèich $x_{0}\in U$ . Antlora a esist r>0 tal che, denotà ${\mathcal {B}}_{r}(x_{0})$ la sfera ëd sènter $x_{0}$ e raj r, un a l'ha ${\mathcal {B}}_{r}(x_{0})\subseteq U$ , visadì $x_{0}+{\mathcal {B}}_{r}(0)\subseteq U$ . Antlora $y_{0}+T({\mathcal {B}}_{r}(0))\subseteq T(U)$ . Për l'ipòtesi, ${\mathcal {B}}_{rc}(0)\subseteq T({\mathcal {B}}_{r}(0))$ , dont ${\mathcal {B}}_{rc}(y_{0})\subseteq T(U)$ e T(U) a arzulta esse duvert.

Un corolari

Ch'as consìdero jë spassi ëd Banach E e F e n'operador linear continuo e bijetiv $T:E\to F$ . Antlora $T^{-1}:F\to E$ a l'é continuo.

Dimostrassion. Dal teorema, un a sa che për tuti j' $x\in E$ taj che $||T(x)||<c$ un a l'ha $||x||<1$ . Për omogenità,

\forall x\in E,||x||\leq {\frac {1}{c}}||T(x)||

,

donca $T^{-1}$ a l'é continuo.

N'aplicassion

Ch'as consìdera në spassi vetorial E dotà 'd norme $||x||_{1}$ e $||x||_{2}$ taj che E a sia në spassi ëd Banach rëspet a tute doe se norme. Butoma, an dzorpì, che

\exists C\geq 0,\forall x\in E,||x||_{2}\leq C||x||_{1}

.

Antlora

\exists c>0,\forall x\in E,||x||_{1}\leq c||x||_{2}

,

visadì le doe norme a son equivalente.

A basta an efet apliché ël corolari a jë spassi ëd Banach $(E,||\ ||_{1}),(E,||\ ||_{2})$ e a la fonsion identità.

La dimostrassion dël teorema

A conven fé la dimostrassion an toi tòch:

1. Si $T:E\to F$ a l'é n'operador linear e surietiv, antlora

\exists c>0,{\mathcal {B}}_{2c}(0)\subseteq {\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}

2. Si $T:E\to F$ a l'é n'operador linear continuo ch'a sodisfa sa dariera relassion, antlora

{\mathcal {B}}_{c}(0)\subseteq T({\mathcal {B}}_{1}(0))

.

Dimostrassion dla prima part

Për tut n natural positiv, ch'as buta

X_n=n \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math>.

Dagià che T a l'é surietiv, a-i na ven che

F=\bigcup _{n=1}^{\infty }X_{n}

e dal teorema ëd categorìa ëd Baire as treuva $n_{0}$ tal che

Int({\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}})\neq \emptyset

.

Ch'as pijo antlora $c>0,y_{0}\in F$ taj che

{\mathcal {B}}_{4c}(y_{0})\subseteq {\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}

.

An particolar, $y_{0}\in {\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}$ e, për simetrìa, ëdcò $-y_{0}\in {\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}$ . An somand e tnisend da ment che ${\overline {T({\mathcal {B}}_{1}(0))}}$ a l'é bombà, un a oten