Teorìa dj'ansem

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

La teorìa dj'ansem a l'é cola branca dla lògica matemàtica anventà da Georg Cantor ch'a studia la nossion d'ansem e d'apartenensa coma fondament për tuta la matemàtica.

Conforma a l'antuission, n'ansem a l'é na colession $\{u\mid P(u)\}$ d'ogèt ch'a sodisfo chèich proprietà $P$ . Belavans, cost concèt d'ansem a l'é contraditòri, për via dël paradòss ëd Russell. Sòn a l'é stàit në spron pr'ësmon-e n'assiomatisassion pì atenta, për podèj fé le vàire operassion ëd costrussion dj'ansem sensa droché an costa - o an d'àutre - contradission. An dzorpì, tute le teorìe matemàtiche a j'ero giumaj smonùe an forma assiomàtica, dzortut cole ch'a rësguardavo dj'ent neuv.
Dle vàire assiomatisassion possìbij për la teorìa dj'ansem cola pì dovrà as basa an sj'assiòma sì-dapress. Costi assiòma a son dovù a Zermelo (1908), gavà rampiass e regolarità. Lë schema ëd rampiass a l'é dovù ëd fasson indipendenta a Fraenkel e a Skolem (1922), l'assiòma ëd regolarità a l'é stàit antrodòt da von Neumann (1925), bele che un prinsipi sìmil a l'era già stàit considerà da Skolem.
J'assiòma a son esprimù ant ël lengage dël prim órdin dla teorìa dj'ansem ch'a l'ha mach $\in$ 'me sìmbol nen lògich.

1. Assiòma d'estensionalità: si $X$ e $Y$ a son d'ansem con j'istess element, antlora $X=Y$ :

\forall X\forall Y\ (\forall z\ (z\in X\leftrightarrow z\in Y)\rightarrow X=Y)

2. Assiòma dla cobia: dàit $a$ e $b$ a-i é n'ansem $\{a,b\}$ dont j'element a son $a$ e $b$ :

\forall a\forall b\exists z\forall u\ (u\in z\leftrightarrow u=a\vee u=b)

3. Schema d'assiòma ëd separassion: si $\varphi (u,p)$ a l'é na fórmola, dàit un paràmeter $p$ e n'ansem $X$ a-i é n'ansem $Y=\{u\in X\mid \varphi (u,p)\}$ dont j'element a son tuti j' $u\in X$ ch'a l'han la proprietà $\varphi (u,p)$ :

\forall p\forall X\exists Y\forall u\ (u\in Y\leftrightarrow u\in X\wedge \varphi (u,p))

4. Assiòma dl'union: dàit n'ansem $X$ a-i é n'ansem $Y=\bigcup X$ ch'a l'é l'union ëd tuti j'element d' $X$ :

\forall X\exists Y\forall u\ (u\in Y\leftrightarrow \exists x\in X\ u\in x)

5. Assiòma dl'ansem potensa: dàit n'ansem $X$ a-i é n'ansem $Y={\mathcal {P}}(X)$ ëd tuti ij sot-ansem d' $X$ :

\forall X\exists Y\forall u\ (u\in Y\leftrightarrow u\subseteq X)

6. Assiòma dl'infinì: a-i é n'ansem $S$ con la proprietà che $\emptyset \in S$ e minca vira che $x\in S$ ëdcò $x\cup \{x\}\in S$ .

7. Schema d'assiòma ëd rampiass: si $\varphi (x,y,p)$ a l'é na fórmola ch'a definiss na fonsion $F$ , visadì $\varphi (x,y,p)\wedge \varphi (x,y',p)\rightarrow y=y'$ , antlora dàit un paràmeter $p$ e n'ansem $X$ a-i é n'ansem $Y=\{F(x)\mid x\in X\}$ , plancia d' $X$ sota $F$ .

8. Assiòma ëd regolarità: minca ansem nen veuid a l'ha n'element minimal për la relassion d'apartenensa.

9. Assiòma ëd selession: minca famija d'ansem nen veuid a l'ha na fonsion ëd selession.

J'assiòma da 1 a 8 a formo la teorìa ëd Zermelo-Fraenkel, ZF; an giontand-je l'assiòma ëd selession a s'oten la teorìa ZFC.

J'assiòma a son nen tuti indipendent. La separassion as peul oten-se dal rampiass an aplicandlo a la fórmola $\varphi (u,p)\wedge y=u$ .

Costa teorìa sempia e eleganta a përmet ëd dësvlupé dij rasonament ch'a sburdisso s'as pensa a la gròssa conomìa dël lengage.

Stòria

Bele che ël prim apròcc a j'ansem infinì a smija ch'a sia stàit ëd Bolzano, a l'é Cantor ch'as rend cont ëd l'amportansa dle fonsion bijetive e a smon la nossion ëd cardinalità 'd n'ansem. Cantor a anandia la teorìa dij nùmer cardinaj e ordinaj e j'anvestigassion dla topologìa dla reta real. J'arserche ëd Cantor a ancamin-o dël 1874, cand a dmostra che l'ansem dij nùmer reaj a l'é pì che numeràbil, antant che l'ansem dij reaj algébrich a l'é numeràbil.

Da antlora j'arserche an teorìa dj'ansem a l'han ëmnà a na caterva d'arzultà amportant e arvolussionari. Coma ant la pì part ëd le dissiplin-e, ant ël dësvlup ëstòrich ëd la teorìa dj'ansem a-i son ëstaje djë sbilauciament e dij cangiament ëd but.

Al di d'ancheuj, lë studi dla teorìa dj'ansem a comprend, tra l'àutr, la combinatòria infinìa, le técniche ëd forsament, ij modej anterior, la teorìa descritiva dj'ansem, ij grand cardinaj, lë studi d'assiòma neuv.

Përsonage amportant ant la stòria dla teorìa dj'ansem

Bernhard Bolzano (1781-1848)
Georg Cantor (1845-1918)
Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925)
Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953)
Bertrand Russell (1872-1970)
Thoralf Albert Skolem (1887-1963)
Isaac Paul Bernays (1888-1977)
Adolf Abraham Fraenkel (1891-1965)
Alfred Tarski (1902-1983)
John von Neumann (1903-1957)
Kurt Gödel (1906-1978)
Paul Joseph Cohen (1934-2007)

D'àotre assiomatisassion dla teorìa dj'ansem

Da banda ëd ZFC, ëdcò d'àotri sistema assiomàtich a son ëstàit ëstudià për la teorìa dj'ansem. An tra ij pì amportant a-i é la teorìa ëd Bernays-Gödel.

S'as gava l'assiòma ëd rampiass da la teorìa ëd Zermelo-Fraenkel, as oten la teorìa ëd Zermelo.