Equassion dël calor

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ch'as consìdera n'ansem duvert  \Omega\subseteq \mathbb R^N, ëd frontera Γ. Ch'as buta

Q= \Omega\times \mathbb R^+, \Sigma = \Gamma\times \mathbb R^+;

donca Σ a l'é la frontera lateral dël cilìnder Q.
Ch'as consìdera ël problema ëd determiné na fonsion u: \bar \Omega \times \mathbb R_0^+ \to \mathbb R tal che:

  1.  \frac{ \partial u}{ \partial t} - \Delta u=0 su Q (equassion dël calor)
  2. u=0 su Σ (condission ai lìmit ëd Dirichlet)
  3. u(x,0)=u_0(x) su Ω (condission inissial)

anté che  \Delta = \sum_{i=1}^N \frac{ \partial^2}{ \partial x_i^2} a l'é ël laplacian rëspet a le variàbij spassiaj, t a l'é la variàbil temporal e u_0 a l'é na fonsion assignà.

L'equassion a l'é dita equassion dël calor, dagià ch'a modela la distribussion ëd la temperadura u ant ël domini Ω al moment t. L'equassion dël calor e soe variante a antërven-o an vàire fenòmeno ëd difusion. A l'é n'esempi sempi d'equassion parabòlica.

La condission ai lìmit a peul esse rampiassà da la condission ëd Neumann

2'.  \frac{ \partial u}{ \partial n} =0 su Σ,

anté che n a l'é ël versor unitari dla normal esterior a Γ. Antant che la condission 2 a esprim ël fàit ch'as goerna ël bòrd Γ d'Ω a temperadura nula, la condission 2' a smon che ël fluss ëd calor a travers Γ a l'é nul.