Mzura ëd Hausdorff

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

La definission

Consideroma në spassi métrich X e un sot-ansem S d'X. Për minca nùmer real $p\geq 0$ definioma $\delta ^{p}(S)=[diam(S)]^{p}$ , con le convension $\delta ^{0}(S)=1$ si $S\neq \emptyset$ e $\delta ^{p}(\emptyset )=0$ . Për minca nùmer real ε>0 denotoma σ(S,p,ε) l'ansem ëd tute le some dla forma $\sum _{j=0}^{\infty }\delta ^{p}(S_{j})$ anté che $(S_{j})$ a son ëd sequense ëd sot-ansem d'X taj che

S\subseteq \cup _{j\in \mathbb {N} }S_{j}

e, për tuti j'ìndes j,

diam(S_{j})<\varepsilon

.

Butoma peui

\Lambda _{\varepsilon }^{p}(S)=\inf \sigma (S,p,\varepsilon )

.

Dagià che

\varepsilon '\leq \varepsilon \Rightarrow \sigma (S,p,\varepsilon ')\subseteq \sigma (S,p,\varepsilon )

,

i l'oma che $\Lambda _{\varepsilon }^{p}$ a l'é nen chërsenta tanme na fonsion d'ε.

As definiss la mzura ëd Hausdorff p-dimensional $\Lambda ^{p}(S)$ d'S an butand

\Lambda ^{p}(S)=\sup\{\Lambda _{\varepsilon }^{p}(S)\mid \varepsilon >0\}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\Lambda _{\varepsilon }^{p}(S)

.

Chèiche propietà

$\Lambda ^{0}$ a l'é la mzura ch'a conta ij pont, visadì $\Lambda ^{0}(S)$ a l'é la cardinalità d'S si S a l'é finì, dësnò a val $+\infty$ .
Për minca $p\geq 0$ , la fonsion $\Lambda ^{p}$ a l'é na mzura esterior ansima a X tal che j'ansem borielian a son ëmzuràbij.
Si $S\subseteq X$ a l'é tal che $\Lambda ^{p}$ a l'é localman finìa ansima a S (visadì për minca $x\in S$ a-i é n'anviron I d'x tal che $\Lambda ^{p}(S\cap I)<+\infty$ ) e p'>p, antlora $\Lambda ^{p'}(S)=0$ .
Si X a l'é na varietà riemannian-a ëd dimension m e p a l'é n'antregh positiv pì cit che m, antlora $\Lambda ^{p}$ a l'é localman finìa ansima a mica sot-varietà p-dimensional d'X.
Si $f:X\to Y$ a l'é na fonsion lipschitzian-a antra spassi métrich ëd costanta λ, antlora për minca sot-ansem $S\subseteq X$ e për minca p>0 a val la relassion $\Lambda ^{p}(f(S))\leq \lambda ^{p}\Lambda ^{p}(S)$ .