Frassion continuà

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Na frassion continuà (o frassion continua) a l'é n'espression dla forma

$a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{\dots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}}}}$ ,

ch'as denòta ëdcò $[a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}]$ , anté che $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}$ a l'é na sequensa, pì 'd soens, ëd nùmer ò ëd fonsion numériche.

Si le quantità $a_{1},\dots ,a_{n}$ a son tute positive, la frassion continuà a l'é bin definìa.

Cand $a_{0},a_{1},\dots$ a l'é na sequensa infinìa, as peul consideresse la frassion continuà

$[a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},\dots ]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{\dots +{\frac {1}{a_{n}+\dots }}}}}}}}$

coma ël lìmit dla sequensa $([a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}])_{n}$ .

L'anvension dle frassion continuà a armonta a Pietro Antonio Cataldi. Ël prim a ciameje parèj a l'é stàit John Wallis.

Frassion continuà regolar

Na frassion continuà $[a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},\dots ]$ a l'é regolar cand $a_{0}$ a l'é 'n nùmer antregh e $a_{1},a_{2},\dots$ a son antregh positiv. Ant ës cas-sì la frassion continuà $[a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},\dots ]$ a l'é 'n nùmer rassional se la sequensa $a_{0},a_{1},\dots$ a l'é finìa, dësnò a l'é n'irassional; ij nùmer $a_{1},a_{2},\ldots$ as ciamo cossient parsiaj.

Dàit doi nùmer antregh, la sequensa dij cossient $(a_{0},\ldots ,a_{n})$ dle division sucessive dl'algoritm d'Euclid a forma na frassion continuà regolar. An sa manera as detérmina na bijession an tra nùmer rassionaj e frassion continuà limità regolar ch'a l'han darié denominator parsial pì grand che 1.

La corispondensa $(a_{0},a_{1},\ldots )\mapsto [a_{0},a_{1},\ldots ]$ a l'é na bijession an tra sequense infinìe d'antregh con $a_{j}>0$ për j>0 e nùmer irassionaj. Për esempi, e=[2,1,2,1,1,4,...,2k,1,1,...], visadì l'espansion an frassion continuà dël nùmer $e=[a_{0},a_{1},\ldots ]$ a l'ha coefissient $a_{0}=2,a_{1}=1$ e $a_{3k-1}=2k,a_{3k}=a_{3k+1}=1$ për k>0.
Ij nùmer irassionaj ch'a corispondo a sequense periòdiche a son rèis ëd polinòmi ëd second gré a coefissient costant (e as ciamo nùmer irassionaj quadràtich).