Frassion continuà

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Na frassion continuà (o frassion continua) a l'é n'espression dla forma

a_0+ \frac1{a_1+ \frac1{a_2+ \frac1{\dots + \frac1{a_n}}}},

ch'as denòta ëdcò [a_0,a_1, \dots ,a_n], anté che a_0,a_1, \dots ,a_n a l'é na sequensa, pì 'd soens, ëd nùmer ò ëd fonsion numériche.

Si le quantità a_1, \dots ,a_n a son tute positive, la frassion continuà a l'é bin definìa.

Cand a_0,a_1, \dots a l'é na sequensa infinìa, as peul consideresse la frassion continuà

[a_0,a_1, \dots ,a_n, \dots ]=a_0+ \frac1{a_1+ \frac1{a_2+ \frac1{\dots + \frac1{a_n+ \dots }}}}

coma ël lìmit dla sequensa ([a_0,a_1, \dots ,a_n])_n.

L'anvension dle frassion continuà a armonta a Pietro Antonio Cataldi. Ël prim a ciameje parèj a l'é stàit John Wallis.

Frassion continuà regolar[modìfica | modifiché la sorgiss]

Na frassion continuà [a_0,a_1, \dots ,a_n, \dots ] a l'é regolar cand a_0 a l'é 'n nùmer antregh e a_1,a_2, \dots a son antregh positiv. Ant ës cas-sì la frassion continuà [a_0,a_1, \dots ,a_n, \dots ] a l'é 'n nùmer rassional se la sequensa a_0,a_1, \dots a l'é finìa, dësnò a l'é n'irassional; ij nùmer a_1,a_2, \ldots as ciamo cossient parsiaj.

Dàit doi nùmer antregh, la sequensa dij cossient (a_0, \ldots ,a_n) dle division sucessive dl'algoritm d'Euclid a forma na frassion continuà regolar. An sa manera as detérmina na bijession an tra nùmer rassionaj e frassion continuà limità regolar ch'a l'han darié denominator parsial pì grand che 1.

La corispondensa (a_0,a_1, \ldots ) \mapsto [a_0,a_1, \ldots ] a l'é na bijession an tra sequense infinìe d'antregh con a_j>0 për j>0 e nùmer irassionaj. Për esempi, e=[2,1,2,1,1,4,...,2k,1,1,...], visadì l'espansion an frassion continuà dël nùmer e=[a_0,a_1, \ldots ] a l'ha coefissient a_0=2,a_1=1 e a_{3k-1}=2k,a_{3k}=a_{3k+1}=1 për k>0.
Ij nùmer irassionaj ch'a corispondo a sequense periòdiche a son rèis ëd polinòmi ëd second gré a coefissient costant (e as ciamo nùmer irassionaj quadràtich).