Sen (matemàtica)

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ël sen ëd n'àngol a l'é ël rapòrt antra l'ordinà dël pont estrem ëd n'arch determinà da s'àngol ch'a l'abia soa orìgin an sl'ass dj'assisse e sò sènter ant l'orìgin dle coordinà e ël raj ëd l'arch midem.
La fonsion sen a l'é denotà sin. As peul definisse për mojen ëd la serie

 \sin x=x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots ,

ch'a sarìa sò dësvlup.

Animassion ch'a mostra com ch'as disegna y = sin x (andoa x a l'é l'àngol an radiant) an dovrand un sercc unitari

Fonsion sinussoidaj[modìfica | modifiché la sorgiss]

Le fonsion sinussoidaj a l'han la forma

y=A \sin 2 \pi \left ( \frac tT +k \right )

anté che A e T a son positiv e k a l'é na costanta qualsëssìa. An butand  \frac{2 \pi }T = \omega la forma a dventa

y=A \sin ( \omega t+ \alpha ).

Ël nùmer A, màssim ëd la fonsion, a n'é l'ampiëssa. La costanta  \nu = \frac 1T a l'é ciamà frequensa, antant che  \omega = \frac{2 \pi }T =2 \pi\nu a l'é la pulsassion ëd la fonsion. L'àngol  \omega t+ \alpha , fonsion linear ëd t, as ciama la fas.

Si, nopà dël sen, ant la fonsion a compariss ël cosen, as agiss ancor ëd na fonsion sinussoidal, dagià che

A \cos ( \omega t+ \beta )=A \sin \left ( \omega t+ \beta + \frac{ \pi }2 \right ) .

Studi dla fonsion sinussoidal[modìfica | modifiché la sorgiss]

Le derivà sucessive ëd na fonsion sinussoidal a son ëd fonsion sinussoidaj. An efet,

y'=A \omega\cos ( \omega t+ \alpha )=A \omega\sin \left ( \omega t+ \alpha + \frac{ \pi }2 \right ) ,
y''=-A \omega^2 \sin ( \omega t+ \alpha )=A \omega^2 \sin ( \omega t+ \alpha + \pi )=- \omega^2y.

D'àutra part, le solussion ëd l'equassion diferensial

y''=- \omega^2y

a son le fonsion sinussoidaj. An efet, a parte da s'equassion, un a oten

2y'y''=- \omega^22yy'

e, antëgrand,

y'^2=- \omega^2y^2+C

anté che C a l'é na costanta positiva. As peul antlora butesse C=A^2 \omega^2 e scrive

y'^2= \omega^2(A^2-y^2)= \omega^2A^2 \left ( 1- \frac{y^2}{A^2} \right ) ,

visadì

y'= \frac{dy}{dt} = \pm\omega A \sqrt{1- \frac{y^2}{A^2} } .

An separand le variàbij e antëgrand,

 \pm \frac{d \frac yA}{ \sqrt{1- \frac{y^2}{A^2}}} = \omega dt
 \arcsin \frac yA = \omega t+ \alpha ,

lòn ch'as peul ëscriv-se

 \frac yA = \sin ( \omega t+ \alpha )

visadì

y=A \sin ( \omega t+ \alpha ).

Ël moviment armònich[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ël moviment d'un pont material P ëd massa m ch'a bogia ansima a n'ass Ox conforma a la laj x=A \sin ( \omega t+ \varphi ) a l'é dit moviment alternà sempi o moviment vibratòri sempi (o sinussoidal) o moviment armònich.

L'andi d'ës pont a l'é

v= \frac{dx}{dt} =A \cos ( \omega t+ \varphi )

e l'acelerassion a l'é

 \gamma =- \omega^2x.

La fòrsa aplicà a P ch'a produv ël moviment a l'é smonùa da

F=m \gamma =-m \omega^2x.

Donca sa fòrsa a l'é dirigiùa da P vers O e a l'é proporsional a x, visadì ël pont O a esèrcita su P na fòrsa d'atrassion proporsional a soa distansa da P.

D'àutra part, si un pont material P a bogia an sn'ass fiss Ox tirà vers O da na fòrsa proporsional a OP, antlora ël moviment ëd P a l'é un moviment armònich. An efet, la fòrsa a resta smonùa da

m \frac{d^2x}{dt^2} =-kx, con k>0;

an marcand k=m \omega^2, visadì  \omega = \sqrt{ \frac km } , un a oten

x=A \sin ( \omega t+ \varphi ),

anté che le costante A e φ a dipendo dai valor inissiaj x_0,v_0 ëd posission e andi:

x_0=A \sin\varphi
v_0= \omega A \cos \varphi ,

dont

A^2=x_0^2+ \frac{v_0^2}{ \omega^2}
 \tan\varphi = \frac{ \omega x_0}{v_0}.

Ël pont P a sbalansa antra ij doi pont estrem, d'assisse A e -A.

Energìa ëd moviment[modìfica | modifiché la sorgiss]

L'energìa cinètica, o fòrsa viva, dël pont material P a l'época t a l'é

 \mathcal C = \frac 12 mv^2= \frac 12 A^2 \omega^2 \cos^2( \omega t+ \varphi )= \frac 12 m \omega^2(A^2-x^2).

L'energìa potensial, ch'a l'é definìa a men ëd na costanta e ch'as peul pijesse nula për x=0, a l'é

 \Pi = \frac 12 m \omega^2x^2

dagià che

 \frac{d \Pi }{dx} =m \omega^2x=-F= \frac{d \mathcal T }{dt},

anté che  \mathcal T a l'é ël travaj ëd la fòrsa -F.
L'energìa mecànica total, soma dl'energìa cinética e dl'energìa potensial, a l'é costanta e a resta ugual a

 \frac 12 m \omega^2A^2= \frac 12 kA^2.

Donca ël quadrà dl'ampiëssa A^2 a mzura, a men d'un fator costant, l'energìa mecànica total dël moviment e a l'é soens ciamà antensità dël moviment.

Fonsion sinussoidal ësmortà[modìfica | modifiché la sorgiss]

As ciama ëd sòlit fonsion sinussoidal ësmortà la fonsion

y=Ce^{-bt} \sin \left ( \frac{2 \pi t }T + \varphi \right )

anté che T (positiv), C, φ, b a son dle costante.
La costanta T a l'é ël perìod ëd la fonsion sinussoidal s=C \sin \left ( \frac{2 \pi t }T + \varphi \right ) e a l'é ciamà fàuss perìod ëd la fonsion y. La costanta b a caraterisa ël dësmortament ëd la fonsion e, ëd sòlit, a l'é 'dcò chila positiva.
Ël nùmer  \lambda =b \frac T2 a l'é ël decrement logarìtmich ëd la fonsion.

Studi dla fonsion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Zero dla fonsion[modìfica | modifiché la sorgiss]

La fonsion sinussoidal ësmortà y as anula anté ch'as anula la fonsion sinussoidal s, visadì ant ij pont dàit da l'equassion

 \frac{2 \pi t}T + \varphi =K \pi , për K antregh,

dont

t= \frac{-T \varphi }{2 \pi } +K \frac T2 .