Serie ëd Taylor

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Ch'as considera na fonsion f, real ò complessa, e un nùmer x_0. La serie ëd Taylor d'f ant ël pont x, sentrà an x_0 a l'é la serie ëd potense

\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k

anté che f^{(k)}(x_0) a denòta la derivà d'órdin k an x_0. Për che costa serie a sia definìa a venta che f a l'abia derivà ëd minca órdin an x_0. La serie ëd Taylor sentrà ant l'orìgin as ciama serie ëd Maclaurin.

Ij troncament dla serie ëd Taylor as ciamo polinòmi ëd Taylor: ël polinòmi ëd Taylor d'órdin n d'f sentrà an x_0 a l'é ël polinòmi

p_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k

Për ch'a sia definì a venta che la fonsion f a sia derivàbil an a fin-a a l'órdin k. Si f a l'é definìa an x, la diferensa

R_n(x)=f(x)-p_n(x)

a l'é la resta d'órdin n an x.

An general, bele si f a l'é definìa an x e a l'ha derivà ëd minca órdin an x_0, la serie ëd Taylor a podrìa converge nen. E ëdcò cand a convergg, l'arzultà a podrìa esse diferent da f(x). N'esempi a l'é la fonsion definìa da

f(0)=0 e f(x)=exp(- \frac 1{x^2} ).

Costa fonsion a l'é tant piata ant l'orìgin che

f^{(k)}(0)=0

për minca k e donca la serie ëd Taylor associà a val 0 daspërtut e a convergg a f(x) mach për x=0.

Dësvlupabilità an serie ëd Taylor[modìfica | modifiché la sorgiss]

Cand la serie ëd Taylor ëd na fonsion a convergg an n'antërval e an minca pont ëd s'antërval soa soma a l'é 'l valor ëd la fonsion, as dis che la fonsion a l'é dësvlupàbil an serie ëd Taylor con pont d'achit x_0 ant l'antërval.

Teorema. Për che na fonsion f, derivàbil për qualsëssìa órdin ant l'antërval (a,b) dont ël pont x_0 a aparten-a, a sia dësvlupàbil an serie ëd Taylor a venta e a-i basta che për minca x \in (a,b) la resta R_n(x) a sia infinitésima.

Da sòn a-i ven na condission suficenta për la dësvlupabilità.

Teorema. Si la fonsion f a l'é derivàbil për qualsëssìa órdin ant l'antërval (a,b) e s'a-i son doi nùmer reaj L,M taj che për qualsëssìa antregh n \geq 0 e për minca x \in (a,b) a val la disugualiansa

|f^{(n)}(x)| \leq ML^n,

antlora f a l'é dësvlupàbil an serie ëd Taylor ant l'antërval (a,b), për qualsëssìa pont d'achit x_0.

Dimostrassion. La forma ëd Lagrange dla resta d'órdin n a smon

R_n(x)= \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}( \xi ),

anté che  \xi a l'é 'n valor convenient antra x_0 e x, visadì  \xi =x_0+ \theta (x-x_0), con 0< \theta <1. Da j'ipòtesi a-i ven antlora che

|R_n(x)| \leq \frac{(L(b-a))^{n+1}}{(n+1)!} M \rightarrow 0.

Esempi ëd dësvlup[modìfica | modifiché la sorgiss]

Da 's darié criteri, a-i ven pr'esempi che le fonsion e^x, \sin x, \cos x a son dësvlupàbij an qualsëssìa antërval ch'a conten-a l'orìgin pijà tanme pont d'achit. Ij dësvlup a resto:

e^x=1+ \frac x{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + \ldots ,
 \sin x=x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots +(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \ldots ,
 \cos x=1- \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots +(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \ldots