Serie ëd Taylor

Da Wikipedia.

	Artìcol prinsipal an lenga piemontèisa
	Version an parlà locaj: Astësan Bielèis Canavzan Langhèt Lissandrin Monfrin Noarèis Seban Valsesian Valsusin
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì

Ch'as considera na fonsion f, real ò complessa, e un nùmer $x 0$ . La serie ëd Taylor d'f ant ël pont x, sentrà an $x 0$ a l'é la serie ëd potense

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$

anté che $f (k) (x 0)$ a denòta la derivà d'órdin k an $x 0$ . Për che costa serie a sia definìa a venta che f a l'abia derivà ëd minca órdin an $x 0$ . La serie ëd Taylor sentrà ant l'orìgin as ciama serie ëd Maclaurin.

Ij troncament dla serie ëd Taylor as ciamo polinòmi ëd Taylor: ël polinòmi ëd Taylor d'órdin n d'f sentrà an $x 0$ a l'é ël polinòmi

$p_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$

Për ch'a sia definì a venta che la fonsion f a sia derivàbil an a fin-a a l'órdin k. Si f a l'é definìa an x, la diferensa

R n (x) = f (x) - p n (x)

a l'é la resta d'órdin n an x.

An general, bele si f a l'é definìa an x e a l'ha derivà ëd minca órdin an $x 0$ , la serie ëd Taylor a podrìa converge nen. E ëdcò cand a convergg, l'arzultà a podrìa esse diferent da f(x). N'esempi a l'é la fonsion definìa da

f(0)=0 e $f(x)=exp(- \frac 1{x^2} )$ .

Costa fonsion a l'é tant piata ant l'orìgin che

f (k) (0) = 0

për minca k e donca la serie ëd Taylor associà a val 0 daspërtut e a convergg a f(x) mach për x=0.

[modìfica] Dësvlupabilità an serie ëd Taylor

Cand la serie ëd Taylor ëd na fonsion a convergg an n'antërval e an minca pont ëd s'antërval soa soma a l'é 'l valor ëd la fonsion, as dis che la fonsion a l'é dësvlupàbil an serie ëd Taylor con pont d'achit $x 0$ ant l'antërval.

Teorema. Për che na fonsion f, derivàbil për qualsëssìa órdin ant l'antërval (a,b) dont ël pont $x 0$ a aparten-a, a sia dësvlupàbil an serie ëd Taylor a venta e a-i basta che për minca $x \in (a,b)$ la resta $R n (x)$ a sia infinitésima.

Da sòn a-i ven na condission suficenta për la dësvlupabilità.

Teorema. Si la fonsion f a l'é derivàbil për qualsëssìa órdin ant l'antërval (a,b) e s'a-i son doi nùmer reaj L,M taj che për qualsëssìa antregh $n \geq 0$ e për minca $x \in (a,b)$ a val la disugualiansa

$|f^{(n)}(x)| \leq ML^n$ ,

antlora f a l'é dësvlupàbil an serie ëd Taylor ant l'antërval (a,b), për qualsëssìa pont d'achit $x 0$ .

Dimostrassion. La forma ëd Lagrange dla resta d'órdin n a smon

$R_n(x)= \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}( \xi )$ ,

anté che $ξ$ a l'é 'n valor convenient antra $x 0$ e x, visadì $ξ = x 0 + θ(x - x 0)$ , con $0 < θ < 1$ . Da j'ipòtesi a-i ven antlora che

$|R_n(x)| \leq \frac{(L(b-a))^{n+1}}{(n+1)!} M \rightarrow 0$ .

[modìfica] Esempi ëd dësvlup

Da 's darié criteri, a-i ven pr'esempi che le fonsion $e x,sin x,cos x$ a son dësvlupàbij an qualsëssìa antërval ch'a conten-a l'orìgin pijà tanme pont d'achit. Ij dësvlup a resto:

$e^x=1+ \frac x{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + \ldots$ ,

$\sin x=x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots +(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \ldots$ ,

$\cos x=1- \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots +(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \ldots$

OMMI! Ma io non SO LEGGERE!! E be'? :) È facile leggere una lingua che si parla già. Consulti questa pagina e vedrà, in un attimo anche Lei avrà il suo badge da bogianen :)

St'utent-sì a l'é un bogianen

OMMI! pero si YO no
SE LEER!

¿Y que? :) Es fácil aprender a leer un idioma que ya se habla. Consulte usted esta pagina y verá, en un momento tendrá usted su Badge de Bogianen :)

22.144 artìcoj scrivù e na media ëd pàgine lesùe davzin a 1.750.000 pàgine l'ann!

'cò ti it peule travajé a fé pì granda e bela la wikipedia piemontèisa. Tùit a peulo gionté dj'anformassion, deurbe dij neuv argoment, deje na man ai volontari ch'a travajo ambelessì 'ndrinta. Rintra ant la Piòla e les coma avnì a fé toa part. I soma na gran famija e i l'oma da manca dël travaj ëd tuti. Se it la sente nen dë scrive n'artìcol, a-i son vàire travajòt da fé andova a fa pa da manca d'esse na cima a scrive për podej giuté. Mersì.

BANCHÈT dj'UTISS

Për dì la soa ansima a sta pàgina-sì ch'a-i daga 'n colp col rat an sël tilèt discussion. Për lasseje un messagi a j'aministrator ch'a varda ambelessì.