Spassi ëd Baire

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


As ciama spassi ëd Bairespassi topològich  \mathbb N^{ \mathbb N } ëd tute le sequense ëd nùmer naturaj dotà dla topologìa prodot. Na base dla topologìa a l'é fornìa da la famija dj'ansem N_s= \{ x \in \mathbb N^{ \mathbb N } \mid s \subseteq x \} , anté che s a varia trames a le sequense finìe ëd nùmer naturaj.
As agiss ëd në spassi polonèis. Na distansa completa ansima a  \mathbb N^{ \mathbb N } a l'é definìa da

d(x,y)= \left \{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } x=y \\ \frac 1{2^n} & \mbox{si } n \mbox{ a l'é mìnim tal che } x(n)\neq y(n) \end{array} \right ..

Le propietà ëd continuità[modìfica | modifiché la sorgiss]

La continuità ant lë spassi ëd Baire a l'ha na sempia antërpretassion combinatòria ch'a ven motobin a taj ant j'aplicassion.

Teorema. Na fonsion f: \mathbb N^{ \mathbb N } \to \mathbb N^{ \mathbb N } a l'é continua si e mach si a-i é na fonsion monotòna  \tau : \mathbb N^{< \omega } \to \mathbb N^{< \omega } an sle sequense finìe tal che

f(x)= \bigcup\{\tau (u) \mid u \subseteq x \} .

Dimostrassion. Si la condission a l'é sodësfàita, antlora

f(x) \in N_v \Leftrightarrow\exists u \subseteq x,v \subseteq\tau (u),

visadì

f^{-1}(N_v)= \bigcup\{ N_u \mid v \subseteq\tau (u) \} ,

ch'a l'é n'union d'ansem duvert e donca f a l'é continua.

Për la diression anversa, admetoma che f a sia continua. Definioma

S(u)= \{ v \in \mathbb N^{< \omega } \mid f(N_u) \subseteq N_v \} .

Minca S(u) a l'é nen veuid, përchè  \emptyset\in S(u). An dzorpì,

v \subseteq v' \in S(u) \Rightarrow v \in S(u) e
 \forall v,v' \in S(u),f(N_u) \subseteq N_v \cap N_{v'} \neq\emptyset , dont v e v' a son confrontàbij.

A venta adess fé na distinsion antra doi cas possìbij.

Prim cas: A-i é chèich v \in S(u), për fòrsa ùnich, ch'a l'ha la midema longheur che u.
As definiss antlora τ(u) ugual a col v.

Scond cas: A-i é gnun v \in S(u) con la midema longheur d'u.
As definiss antlora τ(u) ugual al pì longh v \in S(u).

Dagià che

u_1 \subseteq u_2 \Rightarrow S(u_1) \subseteq S(u_2),

a-i ven che τ a l'é na fonsion monotòna.
Da  \tau (u) \in S(u), a-i ven che

u \subseteq x \in \mathbb N^{ \mathbb N } \Rightarrow\tau (u) \subseteq f(x).

An dzorpì, dagià che f a l'é continua, si v \subseteq f(x), a-i é chèich u \subseteq x tal che f(N_u) \subseteq N_v, donca v \in S(u). Antlora, si τ(u) a l'é definì conforma al second cas, i l'oma v \subseteq\tau (u); dësnò a-i é u' \supseteq u ëd la midema longheur che v e tal che v= \tau (u').