Anàlisi fonsional

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

L'anàlisi fonsional a l'é ël setor dla matemàtica, e an particolar dl'anàlisi, ch'a l'ha tanme but lë studi dë spassi ëd fonsion. A fonga soe rèis ëstòriche ant lë studi dle trasformà tanme la trasformà ëd Fourier e ant lë studi dj'equassion diferensiaj e antëgraj. La paròla fonsional a ven dal càlcol dle variassion, e as arferiss a na fonsion dont l'argoment a l'é na fonsion. Sò usage an sens motobin general a l'é atribuì a Volterra.

Spassi vetoriaj normà

Ant la vision moderna, l'anàlisi fonsional a l'é considerà tanme lë studi dë spassi vetoriaj normà complet an sël camp real o compless. Costi spassi a son ciamà spassi ëd Banach. N'esempi amportant a son jë spassi ëd Hilbert anté che la nòrma a ven da 'n prodot antern. Costi spassi a son d'amportansa fondamental ant la formolassion matemàtica dla mecànica quantìstica. Motobin pì an general, l'anàlisi fonsional a comprend lë studi djë spassi ëd Fréchet e d'àutri spassi vetoriaj topològich nen dotà ëd na nòrma.

N'oget dë studi amportant ant l'anàlisi fonsional a son j'operator linear continuo definì su spassi ëd Banach e ëd Hilbert. An sa manera a l'é rivasse ëd fasson natural a la definission ëd C*-àlgebra e d'àutre àlgebre d'operator.

An dzorpì, l'anàlisi fonsional a treuva aplicassion ant lë studi dij métod numérich dovrà për l'arzolussion d'equassion diferensiaj, con l'agiut dl'ordinator. N'esempi ëd costi métod a l'é ël métod ëd Galerkin për aprossimé e arzòlve la formulassion débola dl'equassion diferensial.

Spassi ëd Banach

Bon-a part dl'anteresse dl'anàlisi fonsional për jë spassi ëd Banach a l'é consentrà ant lë studi dlë spassi doal, visadì lë spassi ëd tuti ij fonsionaj linear continuo. Në spassi ëd Banach a l'é nen an general isomòrf a sò doal, ma a-i é un monomorfism natural antra lë spassi e sò bi-doal (ël doal dël doal).
Ël concet ëd derivassion as estend a fonsion an tra spassi ëd Banach: la derivà ëd na fonsion ant un pont, s'a-i é, a l'é n'aplicassion linear continua.

Spassi ëd Hilbert

Minca spassi ëd Hilbert a l'é determinà, a men d'isomorfism, da la cardinalità ëd na base. Jë spassi ëd dimension finìa a son ëstudià dzortut da l'àlgebra linear. L'anàlisi fonsional as anteressa dzortut a l'ùnich ëspassi ëd Hilbert ëd dimension $\aleph _{0}$ .
Un dij problema duvert dl'anàlisi fonsional a l'é ëd fé vëdde che minca operator linear continuo ansima a në spassi ëd Hilbert a l'ha un sot-ëspassi invariant pròpe. Vàire cas particolar a son ëstàit dimostrà.

Prinsipi fondamentaj

L'anàlisi fonsional as basa ansima a chèich arzultà fondamentaj dont a-i ven tuta la teorìa.

Ël teorema ëd Hahn-Banach. A rësguarda l'estension ëd fonsionaj da 'n sot-ëspassi a lë spassi antregh, an manera da manten-e la nòrma. Mersì a sòn a l'é possìbil dësvlupè 'd na fasson sodisfacenta la teorìa dlë spassi doal ëd në spassi ëd Banach. La dimostrassion dël teorema ëd Hahn-Banach a deuvra l'assiòma ëd selession, ch'a arzulta donca n'assunsion fondamental ant l'anàlisi fonsional.
Ël teorema ëd categorìa ëd Baire.
Ël teorema ëd Banach-Steinhaus, conseguensa dël teorema ëd categorìa ëd Baire.
Ël teorema dla fonsion duverta.
Ël teorema dël gràfich sarà, conseguensa dël teorema dl'aplicassion duverta.
La teorìa dj'operator linear an tra spassi ëd Banach e ëd Hilbert. Costa a l'ha vàire aplicassion ant la teorìa dj'equassion diferensiaj linear e a l'é n'utiss fondamental ant la formolassion matemàtica dla mecànica quantìstica. An particolar an cost àmbit a l'han d'amportansa la teorìa dj'operator compat e ël teorema spetral che a forniss na fórmola antëgral për operator normaj su në spassi ëd Hilbert.

Considerassion ëd lògica matemàtica

La pì part djë spassi considerà ant l'anàlisi fonsional a l'han dimension infinìa. Për mostré l'esistensa ëd na base për costi spassi as deuvra ël lema ëd Zorn (che a l'é equivalent a l'assiòma ëd selession). Vàire teorema motobin amportant a deuvro ël teorema ëd Hahn-Banach ch'a l'ha da manca dël lema ëd Zorn ant ël cas general ëd në spassi ëd dimension infinìa.