Spassi doal

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

An matemàtica lë spassi doal (o, mej, spassi doal algébrich) ëd në spassi vetorial (V,K) a l'é në spassi vetorial dont j'element a son ij fonsionaj linear definì ansima a V. Ël concet dë spassi doal a arcor an tante aplicassion dla matemàtica e dla fìsica dagià ch'a l'é a fondament ëd la nossion ëd tensor.

Definission

Ch'as consìdera në spassi vetorial V ansima a 'n camp K. Un fonsional linear a l'é n'aplicassion linear da V ant ël camp K. Definioma la soma antra doi fonsionaj linear f e g, e ël prodòt antra f e në scalar α an sa manera-sì:

(f+g)(w):=f(w)+g(w)

(\alpha f)(w):=\alpha f(w)

Con coste operassion l'ansem ëd tuti ij fonsionaj linear ëd V an K a forma në spassi vetorial, ciamà spassi vetorial doal V* ëd V.

Esempi

Dimension finìa

Se V a l'ha dimension finìa, antlora V* a l'ha la midema dimension ëd V. An efet se (e₁, ...,e_n) a l'é na base për V, lë spassi V* a l'ha na base doal (e¹,...,eⁿ) definìa an sa manera-sì:

e^{i}(e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}i=j\\0,&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.

An d'àutre paròle, ël fonsional eⁱ a l'é definì tanme l'ùnich fonsional ch'a manda e_i an 1 e tuti j'àutri element e_j dla base an zero.

Ëd na fasson pì concreta, se Rⁿ a l'é lë spassi dij vetor colòna con n component, lë spassi doal Rⁿ* a l'é lë spassi dij vetor riga con n component: minca vetor riga v a peul esse an efet antërpretà tanme un fonsional ch'a manda ël vetor colòna w ant lë scalar v · w otnù an moltiplicand v e w për mojen sla sòlita moltiplicassion antra matris. An cost cas, se (e_i) a l'é la base canònica ëd Rⁿ, antlora eⁱ a l'é bele mach la traspòsta ëd e_i.

Dimension infinìa

Se V a l'ha dimension infinìa, la costrussion ëd eⁱ descrita sì-dzora a smon dij vetor linearman indipendent an V*, ma nen na base: costi vetor a basto pà për generè tuti ij fonsionaj linear. An efet V* a l'ha dimension pì granda che V, ant ël sens ch'a l'é ancor infinìa ma con cardinalità pì granda. Për esempi, lë spassi R^(ω) dle sequense ëd nùmer reaj ch'a l'han mach un nùmer finì d'element nen zero a l'ha dimension numeràbil. Lë spassi doal a peul esse identificà con lë spassi R^ω ëd tute le sequense ëd nùmer reaj, e a l'ha dimension pì che numeràbil (a l'ha la midema cardinalità ëd R). L'identificassion a-i riva ant sa manera-sì: na sequensa (a_n) ëd R^ω a l'é identificà con ël fonsional ch'a manda l'element (x_n) ëd R^(ω) ant lë scalar ∑_na_nx_n.

Traspòsta ëd n'aplicassion linear

Se f: V → W a l'é n'aplicassion linear antra spassi vetoriaj, i definioma soa trasposta ^tf: W* → V* parèj:

({}^{t}f)(\phi )=\phi \circ f,\,

anté che

\phi

a l'é un fonsional an

W*

.

An d'àutre paròle, un a assòcia un fonsional ansima a V a un ansima a W për mojen dla composission con f.

Se A a l'é la matris assossià a n'aplicassion linear f rëspet a doe base ëd V e W, antlora la traspòsta ^tA a l'é la màtris assossià a ^tf rëspet a le bas doal ëd W* e V*.

Ant ël lengagi dla teorìa dle categorìe, l'operassion ch'a trasforma jë spassi vetoriaj e ij sò morfism ant jë spassi vetoriaj doaj con ij mòrfism traspòst a l'é un fontor covariant da la categorìa djë spassi vetoriaj ansima a K an chiel-midem.

Forme bilinear e spassi bidoal

Për lòn ch'a l'é stàit dit sì-dzora, se V a l'ha dimension finìa jë spassi V e V* a son isomòrf: l'isomorfism antra ij doi spassi a l'é però pà canònich, ant ël sens che për definilo a venta fé na sernia, cola ëd na base për V. Sernie diferente a smon-o d'isomorfism diferent: minca isomorfism Φ da V an V* a definiss na forma bilinear nen degénera ansima a V an costa manera-sì:

\langle v,w\rangle =(\Phi (v))(w)\,

e, ëd fasson sìmil, minca forma bilinear nen degénera a definiss n'isomorfism antra V e V*.

Lë spassi bidoal V** ëd në spassi vetorial a l'é otnù pijand ël doal dlë spassi V*. Se V a l'ha dimension finìa, cost a l'ha tavòta la midema dimension ëd V. A diferensa ëd V*, lë spassi V** a l'é però isomòrf ëd fasson canònica con V, për mojen ëd n'isomorfism canònich Ψ:V → V** ch'a dipend da gnun-e sernie, definì për parèj:

(\Psi (v))(\phi )=\phi (v)\,

anté che v a l'é an V e φ an V*. Se V a l'ha dimension infinìa, la mapa Φ a l'é mach inietiva.

Spassi doal topològich

Definission

Se V a l'é në spassi vetorial topològich, e a l'é donca dotà ëd na topologìa aproprià (për esempi se a l'é në spassi ëd Hilbert o ëd Banach), as peul generalisesse la nossion smonùa dzora, antroduvand lë spassi doal topològich ëd V. Chiel-sì a l'é definì tanme lë spassi dij fonsionaj continuo ansima a V, e a l'é ëd sòlit denotà $V'$ . Lë spassi doal topològich a l'é motobin dovrà ant l'anàlisi matemàtica, dzortut përchè ansima a chiel as peulo definì dë struture topològiche anteressante.

Ch'as armarca che la definission smonùa sì-dzora dë spassi doal algébrich a l'é l'istess ëd cola dë spassi doal topològich cand lë spassi vetorial V a l'é echipagià con la topologìa discreta (dagià che tuti ij fonsionaj a son continuo con costa topologìa).

Ël doal topològich V' ëd në spassi normà (për esempi në spassi ëd Banach o ëd Hilbert) a l'é ëdcò chiel në spassi normà. La norma ||φ|| d'un fonsional linear continuo φ ansima a V a l'é definìa tanme:

\|\phi \|=\sup\{|\phi (x)|:\|x\|\leq 1\}

La continuità ëd φ a garantiss che ||φ|| a l'é un nùmer finì. Se V a l'é në spassi ëd Banach, ëdcò V' a-l l'é. Dl'istessa fasson, un prodòt ëscalar ansima a V a na spòrz un ansima a V' an manera che se V a l'é ëd Hilbert ëdcò V' a-l l'é.

Se V a l'ha dimension finìa, jë spassi doal V* e V' a son l'istess, përchè tuti ij fonsionaj linear a son continuo. Cost a l'é pà vera an general cand V a l'ha dimension infinìa.

Esempi

Ch'as pija un nùmer real p, con $1<p<+\infty$ . Lë spassi l^p a l'é l'ansem ëd tute le sequense a = (a_n) taj che

\|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}<+\infty

Ch'a sia p* ël nùmer tal che 1/p + 1/p* = 1. Antlora ël doal topològich ëd l ^p a l'é identificà an manera natural con l ^p* parèj: dàit un fonsional continuo φ ansima a l ^p*, l'element ch'a-j corëspond an l ^p* a l'é la sequensa (φ(e_n)) anté che e_n a l'é la sequensa dont ël termo n-esim a l'é 1 e tuti j'àutri a son zero. D'àutra part, dàit n'element a = (a_n) ∈ l ^p*, ël fonsional linear continuo ch'a-j corëspond φ ansima a l ^p a l'é definì tanme φ(a) = ∑_n a_n b_n për minca a = (a_n) ∈ L^p. L'identificassion a deuvra la disuguajansa ëd Holder.

Armarcoma che p** = p: ëdcò an cost contest lë spassi a l'é isomòrf ëd fasson natural con sò bidoal. Sòn a l'é però pà vera an general: ël doal topològich ëd l ¹ a l'é identificà ëd fasson natural con lë spassi l ^∞ dle sequensa limità, ma ël doal topològich ëd l ^∞ a l'é në spassi pì gròss che l ¹.

Bidoal e spassi arflessiv

Ël bidoal topològich V'' ëd V a l'é definì donca tanme ël doal topològich ëd V' . Ëd na fasson sìmila a lòn ch'a l'é stàit dit sì-dzora, a esist na mapa canònica inietiva

\Psi :V\to V''.

A diferensa ëd lòn ch'a l'é stàit armarcà dzora, costa mapa a peul esse surietiva ëdcò cand V a l'ha dimension infinìa: an cost cas lë spassi V as dis arflessiv.

Minca spassi ëd Hilbert a l'é arflessiv. Ëdcò jë spassi ëd Banach L^p për p>1 a son arflessiv, ma L¹ e $L^{\infty }$ a-l lo son pà.