Operassion

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Consideroma n'ansem E (ëd sòlit nen veuid). As dis operassion (binaria), o laj ëd composission anterna ansima a E qualsëssìa fonsion

f:E \times E \to E,

andoa E \times E a l'é 'l prodot cartesian d'E për chiel-midem.

L'operassion a assòcia donca a minca cobia ordinà (a,b) \in E \times E n'element c=f(a,b) \in E ch'as ciama arzultà dl'operassion f aplicà a la cobia ordinà (a,b).

Si  \circ a l'é n'operassion ansima a n'ansem E, soens as deuvra la notassion mesan-a, an ëscrivend a \circ b pitòst che  \circ (a,b).
An dotand n'ansem E ëd n'operassion  \circ as oten n'esempi dë strutura algébrica (E, \circ ).

Si  \circ a l'é n'operassion an sl'ansem E e A \subseteq E, as dis che A a l'é stàbil rëspet a l'operassion si  \forall a,b \in A,a \circ b \in A.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Ant la strutura ( \mathbb N ,+) l'ansem dij nùmer cobi a l'é stàbil, përchè l'adission ëd doi nùmer cobi a l'é sempe 'n nùmer cobi. Nopà, l'ansem dij nùmer dëscobi a l'é nen ëstàbil.
  • Ant la strutura ( \mathbb N , \cdot ) l'ansem dij nùmer cobi e l'ansem dij nùmer dëscobi a son tuti doi stàbij, përchè la multiplicassion ëd doi nùmer cobi a l'é cobia e la multiplicassion ëd doi nùmer dëscobi a l'é dëscobia.

Propietà dj'operassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

Consideroma n'operassion  \circ definìa an sn'ansem E. A peul esse anteressant ëstudié vàire propietà che l'operassion a peul sodësfé.

Propietà associativa[modìfica | modifiché la sorgiss]

As dis che l'operassion  \circ a l'é associativa si

 \forall a,b,c \in E,(a \circ b) \circ c=a \circ (b \circ c).

Ant ës cas-sì, a-i é nen damanca ëd buté le paréntesi cand as fan d'aplicassion sucessive dl'operassion: i podoma bele mach ëscrive

a \circ b \circ c

dagià che col ch'a sia l'órdin anté che j'operassion a son calcolà, l'arzultà a cambia pa. L'istess a resta vàlid s'i l'oma pì che un terno d'element.

Na strutura algébrica dotà ëd n'operassion associativa a l'é ciamà semistrop.

Propietà comutativa[modìfica | modifiché la sorgiss]

J'element a,b as diso përmutàbij si a \circ b=b \circ a.
As dis che l'operassion  \circ a l'é comutativa si

 \forall a,b \in E,a \circ b=b \circ a.

Element neutral[modìfica | modifiché la sorgiss]

N'element u \in E a l'é dit neutral (o idèntich, o indiferent) për l'operassion  \circ si

 \forall a \in E,u \circ a=a \circ u=a.

Si la strutura (E, \circ ) a l'ha n'element neutral, a-i na j'é mach un: an efet, si u e v a fusso tuti doi d'element neutraj, i l'avrìo

u=u \circ v=v.

Notassion comun-e për andiché l'element neutral an na strutura a son 1 (o 1_E, ciamà un) cand l'operassion a l'é denotà ëd fasson multiplicativa  \cdot , opura 0 (o 0_E, ciamà zero) si l'operassion a l'é scrivùa ëd fasson aditiva +.

Element surbent[modìfica | modifiché la sorgiss]

N'element u \in E a l'é sit surbent për l'operassion  \circ si

 \forall a \in E,u \circ a=a \circ u=u.

Esempi d'element surbent a son 0 për la multiplicassion e  \emptyset për l'antërsession.

Propietà ch'a ìmplico vàire operassion[modìfica | modifiché la sorgiss]

A-i é ëd propietà anteressante ch'a rësguardo vàire operassion considerà ansema.

Ch'as consìdero doe operassion  \circ_1 e  \circ_2 tute doe definìe ansima a E.

Distributività[modìfica | modifiché la sorgiss]

As dis che  \circ_1 a l'é distributiva rëspet a  \circ_2 si, për tuti j'a,b,c \in E,

a \circ_1(b \circ_2c)=(a \circ_1b) \circ_2(a \circ_1c)

e

(a \circ_2b) \circ_1c=(a \circ_1c) \circ_2(b \circ_1c).

Morfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Consideroma n'operassion  \circ_1 ansima a n'ansem A_1 e n'operassion  \circ_2 ansima a n'ansem A_2. Na fonsion  \mu :A_1 \to A_2 a l'é dita morfism ëd le struture (A_1, \circ_1),(A_2, \circ_2) s'a l'é compatìbil con j'operassion, visadì

 \forall a,b \in A_1, \mu (a \circ_1b)= \mu (a) \circ_2 \mu (b).

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • La fonsion
 \mu : \mathbb N \to \mathbb N , \mu (x)=2x
a l'é 'n morfism antra le struture ( \mathbb N ,+) e ( \mathbb N ,+), ma nen antra le struture ( \mathbb N , \cdot ) e ( \mathbb N , \cdot ).
x \mapsto e^x
a l'é un morfism antra le struture ( \mathbb R ,+) e ( \mathbb R ,\cdot).

Chèich propietà dij morfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera un morfism  \mu :A_1 \to A_2 antra le struture (A_1, \circ_1),(A_2, \circ_2).

  • La plancia  \mu (A_1) \subseteq A_2 a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'A_2.
  • Si x,y a son element përmutàbij d'A_1, antlora μ(x),μ(y) a son element përmutàbij d'A_2.
  • Si u a l'é element neutral d'A_1, antlora μ(u) a l'é element neutral d'A_2.