Anel

Da Wikipedia.
Drapò piemontèis.png Vos an lenga piemontèisa
Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì


Definission[modìfica | modifiché la sorgiss]

As ciama anel na strutura algébrica  (A,+, \cdot ) , anté che:

  • (A,+) a l'é në strop comutativ, dont l'element identità a l'é 'd sòlit denotà 0 o 0_A;
  • (A, \cdot ) a l'é un semistrop, visadì ël prodot (o multiplicassion)  \cdot a l'é associativ: a(bc)=(ab)c për tuti j'a,b,c \in A;
  • a son vàlide le doe distributività:  a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c e  (a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c për tuti j'a,b,c \in A.

J'element a,b dl'anel A as diso përmutàbij si ab=ba. Për minca cobia d'element përmutàbij ëd n'anel a val la fórmola dël binòmi.
N'anel comutativ a l'é n'anel anté che la multiplicassion a l'é comutativa: ab=ba për tuti j'a,b \in A.

N'anel con unità a l'é n'anel anté ch'a-i é n'element, ëd sòlit denotà 1 o 1_A, ch'a l'é element identità për ël prodot, visadì 1_Aa=a1_A=a për minca a \in A. An d'àutre paròle, n'anel con unità a l'é n'anel anté che (A, \cdot ) a l'é un monòid.

Esempi d'anej[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Ch'as consìdera në strop comutativ G. Definioma an G un prodot an butant xy=0_G për minca x,y \in G. Antlora (G,+, \cdot ) a l'é n'anel.
  • L'ansem dle class ëd congruensa con soe operassion a l'é n'anel.
  • Ch'as fissa në strop abelian (G,+) e ch'as consìdera l'ansem E ëd tuti ij morfism dë strop G \to G, con l'adission f+g an E definìa da
 \forall x \in G,(f+g)(x)=f(x)+g(x).
Parèj, (E,+) a ven a esse në strop abelian. Consideroma tanme prodot an E l'operassion ëd composission. Costa operassion a l'ha n'element unità, ch'a l'é l'identità ëd G. An dzorpì, a valo le propietà distributive d'ës prodot rëspet a l'adission. An efet, për minca f,g,h \in E e x \in G,
[f(g+h)](x)=f[(g+h)(x)]=f[g(x)+h(x)]=fg(x)+fh(x)=(fg+fh)(x) e
[(f+g)h](x)=(f+g)[h(x)]=f[h(x)]+g[h(x)]=(fh)(x)+(gh)(x)=(fh+gh)(x).
Donca, rëspet a coste operassion, E a l'é n'anel con unità (an general nen comutativ). A l'é dit anel dj'endomorfism dlë strop G.
  • N'esempi d'anel nen comutativ e sensa unità as peul oten-e an partend da lë strop {0,1,2,3} dle class ëd resta mòdol 4 e definendje un prodot përparèj:
0 \cdot x=x \cdot 0=0,
1 \cdot 1=1,1 \cdot 2=2,1 \cdot 3=3,
2 \cdot 1=2 \cdot 2=2 \cdot 3=0,
3 \cdot 1=1,3 \cdot 2=2,3 \cdot 3=3.
  • L'ansem  \R^{ \R } dle fonsion reaj ëd variàbil real a l'é n'anel con j'operassion d'adission e multiplicassion pontoal:
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(fg)(x)=f(x)g(x).

Chèiche propietà elementar[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera n'anel A. Da la definission as peulo dimostresse vàire propietà elementar.

  • a0_A=0_Aa=0_A për minca a \in A.

An efet, a0_A=a(0_A+0_A)=a0_A+a0_A e 0_Aa=(0_A+0_A)a=0_Aa+0_Aa. Dagià che (A,+) a l'é në strop, as peul gavesse a0_A da minca banda dla prima equassion e 0_Aa da minca banda dla sconda e oten-e la conclusion vorsùa.

  • (-a)b=a(-b)=-(ab) për minca a,b \in A.

An efet, ab+((-a)b)=(a+(-a))b=0_Ab=0_A=a0_A=a(b+(-b))=ab+a(-b).

An efet, an dovrand la propietà distributiva, (na)b=(a+a+...+a)b=ab+ab+...+ab=n(ab). Ant l'istessa manera, a(nb)=a(b+b+...+b)=ab+ab+...+ab=n(ab).

  • Ël prodot a l'é distributiv ëdcò rëspet a la diferensa: për minca x,y,z \in A, a valo j'ugualianse x(y-z)=xy-xz e (x-y)z=xz-yz.

An efet, x(y-z)=x[y+(-z)]=xy+x(-z)=xy+(-xz)=xy-xz. Ant l'istessa manera, (x-y)z=[x+(-y)]z=xz+(-y)z=xz+(-yz)=xz-yz.

A l'é possìbil che an n'anel con unità 0_A=1_A, ma ant ës cas-sì da le propietà sì-dzora a-i ven che A= \{ 0_A \} . An efet, pijà qualsëssìa x \in A, i l'oma che 0_A=x0_A=x1_A=x.

Sot-anej[modìfica | modifiché la sorgiss]

Un sot-ansem B ëd n'anel A as dis stàbil, o sarà, si x+y,xy \in B për qualsëssìa x,y \in B.
Un sot-anel d'A a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'A ch'a sia ëdcò chiel n'anel, dotà dj'operassion d'A.

Condission necessaria e bastèivola përchè un sot-ansem B d'A a na sia un sot-anel e l'é che 0_A \in B e a+b,ab,-a \in B për minca a,b \in B. Na condission equivalenta a l'é che 0_A \in B e a-b,ab \in B për minca a,b \in B.

Minca sot-anel ëd n'anel comutativ a l'é 'dcò chiel comutativ.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Antra ij sot-anej ëd n'anel A a-i son sempe  \{ 0_A \} e A midem, ch'a son dit sot-anej impròpi. Tuti j'àutri sot-anej, s'a-i na son, a son dit pròpi.
  • Si B a l'é sot-anel d'A e C a l'é sot-anel ëd B, antlora C a l'é sot-anel d'A.
  • Si B e C a son sot-anej d'A e C \subseteq B, antlora C a l'é ëdcò sot-anel ëd B.
  • Dàita na famija nen veuida  \mathcal F ëd sot-anej d'A, l'antërsession ëd costa famija a l'é 'n sot-anel d'A. Donca a esist ëdcò ël pì cit sot-anel ch'a conten minca element d' \mathcal F : as treuva an pijand l'antërsession ëd tuti ij sot-anej ch'a conten-o l'union d' \mathcal F (e a-i na j'é almanch un, visadì A midem). An general, l'union d' \mathcal F a l'é nen un sot-anel.
  • Ant l'anel  \mathbb Z_6= \{ 0,1,2,3,4,5 \} dle class ëd resta mòdol 6, ël sot-ansem B={0,2,4} a l'é 'n sot-anel.
  • Për minca nùmer natural n, l'ansem  n \mathbb Z dij mùltipl antregh d'n a l'é 'n sot-anel ëd  \mathbb Z . Për n \in\{ 0,1 \} i l'oma ij sot-anej impròpi. Armarcoma che, për n \geq 2, as trata 'd sot-anej sensa unità.
  • Consideroma un sot-ansem I ëd n'anel A e definioma C_I= \{ a \in A \mid \forall u \in I,au=ua \} . As agiss d'un sot-anel d'A. An efet:
0_A \in C_I;
pijà a_1,a_2 \in C_I e u \in I i l'oma (a_1-a_2)u=a_1u-a_2u=ua_1-ua_2=u(a_1-a_2) e (a_1a_2)u=a_1(a_2u)=a_1(ua_2)=(a_1u)a_2=(ua_1)a_2=u(a_1a_2); donca a_1-a_2,a_1a_2 \in C_I.
Ël sot-anel C_A a l'é dit ël sènter ëd l'anel A.
  • Ch'as consìdera l'anel  \mathbb Z \times \mathbb Z con j'operassion definìe për componente:
(m,n)+(h,k)=(m+h,n+k),
(m,n)(h,k)=(mh,nk).
As agiss ëd n'anel con unità (1,1). Ël sot-ansem  \mathbb Z \times\{ 0 \} a l'é 'n sot-anel, con unità 'dcò chiel, ma soa unità a l'é (1,0).

Anej prodot[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera na famija nen veuida  \{ R_i \}_{i \in I} d'anej. L'anel prodot diret a l'é otnù dal prodot cartesian R= \prod_{i \in I}R_i an definend j'operassion për componente:

  • (a+b)(i)=a(i)+b(i),
  • (ab)(i)=a(i)b(i).

Ël zero dl'anel prodot a l'é l'element definì da 0_R(i)=0_{R_i}, për minca i \in I e l'opòst -a ëd l'element a \in R a l'é definì da (-a)(i)=-a(i) për minca i \in I.
Da costa definission a-i ven, an particolar, che R a l'é comutativ si e mach si minca R_i a-l l'é. Si tuti j'anej ëd la famija a l'han n'unità, antlora ëdcò ël prodot diret a-l l'ha: a l'é l'element dont tute le componente a son l'unità ant ël fator corëspondent.

Si për minca j \in J i pijoma un sot-anel B_j d'R_j, i otnoma un sot-anel  \prod_{j \in J}B_j dël prodot diret.

Divisor ëd zero[modìfica | modifiché la sorgiss]

An n'anel A, n'element x diferent da 0_A as dis divisor ëd zero a snistra s'a esist n'element y an A, diferent da 0_A tal che xy=0_A. Ant l'istessa manera as definisso ij divisor ëd zero a drita. Noté che si x a l'é divisor ëd zero a snistra, e y \neq 0 a l'é tal che xy=0_A, antlora y a l'é divisor ëd zero a drita.

As dis che an n'anel a val ël prinsipi d'anulament dël prodot si l'ùnica manera për un prodot d'esse 0_A a l'é che almanch un dij doi fator a sia 0_A, visadì ch'a-i sio pa ëd divisor ëd zero.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Ant l'anel  \mathbb Z_6 dle class ëd resta mòdol 6 a-i son ëd divisor ëd zero; tutun ël sot-anel {0,2,4} a-n n'ha pa.
  • Fissà 'n nùmer natural n \geq 1, l'ansem dle matris quadrà reaj d'órdin n con soe operassion d'adission e prodot riga për colòna a l'é n'anel. Si n \geq 2, ël prodot a l'é nen comutativ e a-i son ëd divisor ëd zero: për esempi, denotà E_{ij} la matris fàita tuta da 0, gavà n'1 al pòst (i,j), si j \neq h i l'oma che E_{ij}E_{hk} a l'é la matris con tuti 0.

Propietà. An n'anel A a valo le laj ëd simplificassion dël prodot si e mach si a-i son nen ëd divisor ëd zero.

Dimostrassion. Si an A a-i son ëd divisor ëd zero, ch'as consìdero doi element x e y diferent da 0_A taj che xy=0_A. Antlora xy=x0_A, ma y \neq 0_A. Ant l'istessa manera as fa vëdde che ël prodot as peul nen simplifichesse a drita.
Për l'anvers, suponoma che ël prodot a sia nen simplificàbil a snistra (l'istess rasonament as fa s'a l'é nen simplificàbil a drita). Antlora a-i son d'element x,y,z \in A, con x \neq 0_A e y \neq z, taj che xy=xz. A-i na ven che x(y-z)=xy-xz=0_A e donca ch'a-i son ëd divisor ëd zero.

Armarché che dì che n'anel A a l'ha pa 'd divisor ëd zero a l'é l'istess che dì che A- \{ 0_A \} a l'é 'n sot-semistrop dël semistrop (A, \cdot ).

N'anel comutativ sensa divisor ëd zero as dis domini d'antegrità.

La caraterìstica 'd n'anel[modìfica | modifiché la sorgiss]

Consideroma n'anel A e n'element x \in A. A peul desse ch'a esisto dij nùmer naturaj positiv n taj che nx=0_A. Ant ës cas-sì, ël pì cit ëd costi nùmer a l'é dit caraterìstica d'x. S'a-i é gnun nùmer parèj, as dis che x a l'ha caraterìstica zero (o infinìa).

La caraterìstica 'd n'anel A a l'é, s'a esist, ël pì cit nùmer natural positiv N tal che Nx=0_A për tuti j'x \in A. S'un nùmer parèj a esist nen, antlora as dis che la caraterìstica d'A a l'é zero (o infinìa).

Propietà. An n'anel con unità, la caraterìstica dl'anel a l'é cola 'd soa unità.

Dimostrassion. Si la caraterìstica d'1_A a l'é m>0, pijà un qualsëssìa x \in A i l'oma

mx=m(1_Ax)=(m1_A)x=0_Ax=0_A.

Si nopà la caraterìstica d'1_A a l'é zero, antlora cola d'A a peul nen esse positiva, e donca a l'é zero 'dcò chila.

Propietà. An n'anel, tuti j'element ch'a son nen divisor ëd zero a l'han la midema caraterìstica.

Dimostrassion. Consideroma d'element x e y ch'a sio nen divisor ëd zero e foma l'ipòtesi che la caraterìstica d'x a sia m>0.
Antlora: 0_A=0_Ay=(mx)y=x(my). Dagià che x a l'é nen divisor ëd zero, a dev esse my=0_A; donca la caraterìstica d'y a l'é positiva e a l'é al màssim cola d'x. An baratand ël ròl d'x e y i otnoma che soe caraterìstiche a son j'istesse.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • J'anej  \mathbb Z dj'antregh,  \mathbb Q dij rassionaj,  \mathbb R dij reaj a l'han caraterìstica 0, përchè costa a l'é la caraterìstica dl'1.
  • J'anej  n \mathbb Z dij mùltipl antregh dël natural n>0 a l'han tuti caraterìstica 0.
  • J'anej  \mathbb Z_n dle class ëd resta mòdol n \geq 2 a l'han caraterìstica n. Parèj, la caraterìstica ëd  \mathbb Z_6 a l'é 6; sò sot-anel {0,2,4} a l'ha, nopà, caraterìstica 3. Noté però che la caraterìstica ëd n'element an n'anel o ant un sot-anel a resta la midema.

Ideaj[modìfica | modifiché la sorgiss]

Un sot-anel I ëd n'anel A a l'é dit ideal ësnistr si  \forall x \in I, \forall a \in A,ax \in I; a l'é dit ideal drit si  \forall x \in I, \forall a \in A,xa \in I. N'ideal ch'a sia tant ësnistr che drit a l'é ciamà ideal bilateral, o bele mach ideal (ant j'anej comutativ, ideaj snistr, drit e bilateraj a son l'istess).
An minca anel, l'ideal nul  \{ 0_A \} e A midem a son d'ideaj bilateraj, dit ideaj banaj; j'àutri ideaj, s'a-i na son, a son dit pròpi.
N'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A a l'é ëdcò ideal (snistr, drit o bilateral) ëd minca sot-anel B d'A ch'a lo conten-a.
J'deaj bilateraj a l'han an teorìa dj'anej un ròl parèj ëd col dij sot-ëstrop normaj an teorìa djë strop.

Propietà. Si n'anel A a l'ha n'unità, costa a aparten a gnun ideal pròpi dl'anel.

Dimostrassion. Si l'unità a sta an n'ideal I, për minca a \in A i l'oma a=1_Aa \in I.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Fissà un nùmer antregh n, an qualsëssìa anel A l'ansem  \{ na \mid a \in A \} a l'é n'ideal bilateral d'A.
  • L'ansem dle matris reaj quadrà d'órdin 2 con seconda riga nula a l'é n'ideal drit, ma nen ësnistr, ant l'anel dle matris reaj quadrà d'órdin 2.
  • Pijà 'n sot-ansem X ëd n'anel A, l' anulator ësnistr d'X a l'é l'ansem  \{ a \in A \mid \forall x \in X,ax=0_A \}  . As trata 'd n'ideal ësnistr d'A. An efet, 0_A a jë sta andrinta; pijà a,b an st'ansem e x \in X i l'oma (a-b)x=ax-bx=0_A. Për finì, pijà a ant l'anulator ësnitr e b \in A i l'oma che, për minca x \in X, bax=0_A. Ant l'istessa manera as definisso l'anulator drit e l'anulator d'X (ës darié a l'é l'ansem dj'a \in A taj che ax=xa=0_A për minca x \in X): ël prim a l'é n'ideal drit d'A, lë scond n'ideal bilateral.
  • Considerà na famija nen veuida  \mathcal F d'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel, l'antërsession  \bigcap \mathcal F a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral). Donca, pijà un qualsëssìa sot-ansem S ëd n'anel, ël pì cit ideal (drit, snistr o bilateral) ch'a conten S a l'é l'antërsession ëd la famija ëd tuti j'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ch'a conten-o S. Cost-sì as dis ideal generà da S.
  • Si I e J a son doi ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel A, l'ideal generà da I \cup J a l'é l'ideal soma I+J= \{ i+j \mid i\in I,j \in J \} . An efet, 0_A \in I+J e pijà i,i' \in I,j,j' \in J, i l'oma che i+j-(i'+j')=i-i'+j-j' \in I+J. Për finì, butoma che I e J a sio d'ideaj snistr (istess rasonament s'a son drit o bilateraj); pijà i \in I,j \in J,a \in A, i l'oma che a(i+j)=ai+aj \in I+J.
  • Ant un prodot diret  \prod_{j \in J}R_j d'anej, si për minca fator R_j i pijoma n'ideal (snistr, drit o bilateral) B_j, ël prodot  \prod_{j \in J}B_j a resta n'ideal (snistr, drit o bilateral).
  • La soma direta dla famija nen veuida d'anej  \{ R_h \}_{h \in J} a l'é ël sot-ansem dël prodot diret ëd coj element ch'a l'han tute le componente nule, gavà na quantità finìa. A l'é n'ideal bilateral, dagià che ël prodot ëd qualsëssìa cobia d'element dël prodot diret a l'ha componenta nula andoa che almanch un dij doi fator a l'ha componenta nula. Cand J a l'é n'ansem finì, la soma direta a coincid con ël prodot diret.

Ideaj massimaj[modìfica | modifiché la sorgiss]

N'ideal M ëd n'anel A a l'é dit massimal si M \neq A e a-i é gnun ideal U tal che M \subset U \subset A. Për esempi, j'ideaj massimaj ëd  \mathbb Z a son j'ansem dij mùltipl ëd chèich nùmer prim.

Ant l'anel R= \mathcal C ([0,1], \mathbb R ) dle fonsion continue da l'antërval [0,1] ant ij reaj, l'ideal M_{ \gamma }= \{ f \in R \mid f( \gamma )=0 \} , anté che  \gamma\in [0,1], a l'é massimal.
Pr'ës-ciaré sòn, pijoma n'ideal U ch'a conten-a ëd fasson pròpia M e na fonsion g \in U-M. Antlora, g( \gamma )= \alpha\neq 0. D'àutra part, h(x)=g(x)- \alpha\in M \subseteq U e donca la fonsion costanta α, diferensa ëd g(x) e h(x), a l'é an U. A-i na ven che 1= \alpha\alpha^{-1} \in U e U=R.
As peul mostresse che tuti j'ideaj massimaj d'R a son ëd cost tipo.

Anel cossient[modìfica | modifiché la sorgiss]

Pijà n'ideal I ëd n'anel A e n'element  a \in A , dagià che (I,+) a l'é 'n sot-ëstrop d'(A,+) as peul consideresse ël cossient A/I. Ansima a cost cossient, ëdcò la multiplicassion as definiss ëd fasson natural an butand (a+I)(b+I)=ab+I e A/I a arzulta esse n'anel, dit anel cossient.
Armarché che sa definission ëd prodot a veul nen dì che l'ansem dij prodot  \{xy \mid x \in a+I,y \in b+I \} a sia l'ansem ab+I, dagià che an general a val mach l'anclusion

 \{ xy \mid x \in a+I,y \in b+I \}\subseteq ab+I.

Për dimostré costa relassion a basta noté che, pijà qualsëssìa u,v \in I i l'oma

(a+u)(b+v)=ab+av+ub+uv \in ab+I.

Si A a l'é comutativ, ëdcò A/I a-l l'é.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Për minca nùmer natural n \geq 1, l'anel  \mathbb Z /n \mathbb Z , cossient dj'antregh rëspet a l'ideal dij mùltipl d'n, a l'é l'anel dle class ëd resta mòdol n.
  • Sa costrussion a peul generalisesse: pijà n'anel A e n'antregh n, l'anel A/nA as ciama l'anel ridot d'A mòdol n.

N'àutra costrussion dj'anej cossient[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as consìdera na relassion d'equivalensa  \sigma ansima a n'anel A e foma l'ipòtesi che  \sigma a sia compatìbil rëspet a j'operassion, visadì:

x \sigma x' \wedge y \sigma y' \Rightarrow x+y \sigma x'+y' \wedge xy \sigma x'y' .

As peulo antlora definì d'operassion ëd soma e prodot ansima al cossient A/ \sigma përparèj:

[x]_{ \sigma }+[y]_{ \sigma }=[x+y]_{ \sigma },
[x]_{ \sigma }[y]_{ \sigma }=[xy]_{ \sigma }.

Con coste operassion, A/ \sigma a ven a esse n'anel, ciamà anel cossient d'A rëspet a  \sigma .
Si A a l'é comutativ, ëdcò A/ \sigma a-l l'é; si A a l'ha n'unità 1_A, antlora ëdcò A_{ \sigma } a-l l'ha e costa-sì a l'é [1_A]_{ \sigma }.

Le doe costrussion a arzulto esse equivalente. An efet, a val la propietà sì-dapress.

Propietà. Na relassion d'equivalensa σ a l'é compatìbil con j'operassion si e mach si la partission ch'a detèrmina a l'é cola dij lateraj ëd n'ideal bilateral.

Dimostrassion. Dàita σ compatìbil, i l'oma che

a \sigma b \Leftrightarrow a-b \in [0_A]_{ \sigma }

e [0_A]_{ \sigma } a l'é n'ideal bilateral dont le class ëd σ a son ij lateraj. Viceversa, dàit n'ideal bilateral I, la relassion

a \sigma_I b \Leftrightarrow a-b \in I

a l'é na relassion d'equivalensa compatìbil con j'operassion.
Le fonsion  \sigma\mapsto [0_A]_{ \sigma },I \mapsto\sigma_I a son anverse un-a dl'àutra.

Morfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Considerà j'anej A e A', un morfism (o omomorfism) d'anej antra A e A' a l'é na fonsion f:A \to A' ch'a conserva j'operassion, visadì

f(x+y)=f(x)+f(y),
f(xy)=f(x)f(y),

për minca x,y \in A.
Un morfism surietiv as dis ëdcò epimorfism e un morfism inietiv monomorfism.

Si A,B,C a son d'anej e f:A \to B,g:B \to C a son ëd morfism, antlora soa composission gf:A \to C a l'é 'n morfism.

Nos d'un morfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

La nos d'f a l'é kerf= \{ a \in A \mid f(a)=0_{A'} \} . As trata 'd n'ideal. An efet, a l'é la nos d'un morfism dë strop, donca a l'é 'n sot-ëstrop d'A. An dzorpì, për tuti j'a \in kerf e tuti ij b \in A,

f(ab)=f(a)f(b)=0_{A'}f(b)=0_{A'} e f(ba)=f(b)f(a)=f(b)0_{A'}=0_{A'},

donca sia ab che ba a stan an kerf.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Pijà n'anel A e un sò ideal I, la projession A \to A/I ch'a manda minca a \in A an a+I \in A/I a l'é 'n morfism.
  • Ch'as consìdera la fonsion  \mathbb Z \to \mathbb Z_6 ch'a manda mìnca nùmer antregh an soa class ëd resta. As trata 'd n'epimorfism. Noté che antant che an  \mathbb Z minca nùmer diferent da 0 a l'ha caraterìstica zero e  \mathbb Z a l'ha pa 'd divisor ëd zero, minca element ëd  \mathbb Z_6 diferent da zero a l'ha caraterìstica finìa e  \mathbb Z_6 a l'ha 'd divisor ëd zero.
  • A-i é mach n'epimorfism  \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_2. Noté che antant che 3 a l'é 'n divisor ëd zero an  \mathbb Z_6, soa plancia 1 a-l l'é nen an  \mathbb Z_2.
  • Le projession canòniche  \pi_h: \prod_{m \in J}R_m \to R_h d'un prodot diret ansima ai sò fator a son d'epimorfism. J'iniession canòniche j_h:R_h \to \prod_{m \in J}R_m definìe an manera che j_h(a) a l'ha a tanme componenta d'ìndes h e tute j'àutre componente nule, a son ëd monomorfism. Pijà h,k \in J, la composission  \pi_hj_k:R_k \to R_h a l'é l'identità cand h=k e ël morfism ch'a manda tut an 0_{R_h} dësnò. Le projession canòniche rëstrenzùe a la soma direta a son ancor dj'epimorfism e la plancia ëd minca iniession canònica a l'é un sot-ansem dla soma direta.

Chèiche propietà sempie[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Dàit un morfism d'anej f:A \to A' e un sot-anel B d'A, f(B) a l'é sot-anel d'A'. An particolar, la plancia d'f a l'é 'n sot-anel d'A'.

Dimostrassion. Ël sot-ansem f(B) a l'é 'n sot-ëstrop d'A', dagià che f a l'é ëdco 'n morfism dë strop. Pijà peui x,y \in A, i l'oma che f(x)f(y)=f(xy) \in f(B).

  • Dàit un morfism antra anej f:A \to A' e un sot-anel B' d'A', f^{-1}(B') a l'é 'n sot-anel d'A.

Dimostrassion. I l'oma che f^{-1}(B') a l'é 'n sot-ëstrop d'A. An dzorpì, pijà x,y \in f^{-1}(B'), i l'oma f(xy)=f(x)f(y) \in B' e donca xy \in f^{-1}(B).

  • La plancia omomorfa ëd n'anel comutativ a l'é comutativa.

Dimostrassion. A basta armarché che ant ës cas-sì f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x).

  • Si A a l'é n'anel con unità e f:A \to A' a l'é n'epimorfism antra anej, con f(1_A)=0_{A'}, antlora A'= \{ 0_{A'} \} .

Dimostrassion. S'i pijoma qualsëssìa a' \in A' e a \in A con f(a)=a', i l'oma che a'=f(a)=f(1_Aa)=f(1_A)f(a)=0_{A'}a'=0_{A'}.

  • Si f:A \to A' a l'é n'epimorfism antra anej e A a l'ha n'unità 1_A, antlora f(1_A) e l'é l'unità d'A'; an dzorpì, si a \in A a l'é anvertìbil, ëdcò f(a) a-l l'é e [f(a)]^{-1}=f(a^{-1}).

Dimostrassion. Pijà a' \in A' e a \in A con f(a)=a', i l'oma f(1_A)a'=f(1_A)f(a)=f(1_Aa)=f(a)=a' e donca f(1_A) a l'é unità an A'. Si a \in A a l'é anvertìbil, con anvers a^{-1}, a-i ven che f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(1_A)=1_{A'} e donca f(a^{-1}) a l'é l'anvers d'f(a).

  • La plancia ëd n'ideal I (snistr, drit o bilateral) a travers n'epimorfism f:A \to A' a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral, a sconda dij cas).

Dimostrassion. Butoma che I a sia n'ideal ësnistr d'A (istess rasonament s'as trata ëd n'ideal drit o bilateral). Pijoma x \in A',a \in I për fé vëdde che xf(a) \in f(I). Antlora a-i é y \in A con f(y)=x. Parèj, xf(a)=f(y)f(a)=f(ya) \in f(I).

  • La contra-plancia 'd n'ideal J (snistr, drit o bilateral) a travers un morfism d'anej f:A \to A' a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A.

Dimostrassion. Për ël cas ëd n'ideal ësnistr (l'istess a val për n'ideal drit o bilateral), pijoma x \in A,a \in f^{-1}(J). Antlora f(xa)=f(x)f(a) \in J e donca xa \in f^{-1}(J).

Isomorfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Un morfism d'anej ch'a l'é na bijession a l'é dit isomorfism e ij doi anej isomorf. A-i na ven che n'isomorfism a conserva ëdcò (cand ch'a-i son) l'unità e j'anvers, visadì

f(1_A)=1_{A'},
f(x^{-1})=[f(x)]^{-1} për minca x \in A.

La relassion d'isomorfism  \simeq antra anej a l'é na relassion d'equivalensa.

Fatorisassion dij morfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Ch'as pija un morfism antra anej f:A \to B e n'ideal I d'A. Butoma che I \subseteq kerf. Antlora a-i é 'n morfism d'anej g:A/I \to B tal che g(a+I)=f(a) për tuti j'a \in A.

An efet, g a l'é bin definì e a l'é un morfism dë strop, dagià che f a-l l'é. Për la multiplicassion, i l'oma

g((a+I)(b+I))=g(ab+I)=f(ab)=f(a)f(b)=g(a+I)g(b+I).

A-i na ven che minca omomorfism antra anej f:A \to A' a peul decomponse tanme f=j \varphi\pi anté che:

  •  \pi :A \to A/kerf a l'é la projession canònica, ch'a l'é n'epimorfism;
  •  \varphi (x+kerf)=f(x) a l'é n'isomorfism;
  • j a l'é ël fongament d'f(A) andrinta a A', ch'a l'é un monomorfism.

An particolar, armarcoma che:

  • minca ideal bilateral a l'é la nos ëd n'omomorfism d'anej;
  • A/kerf a l'é isomorf a f(A);
  • për I= \{ 0_A \} , A/I a l'é isomorf a A;
  • për I=A i l'oma che A/I a l'é isomorf a  \{ 0_A \} ;
  • si I a l'é n'ideal bilateral d'A, la projession canònica  \pi :A \to A/I a génera na bijession antra la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A ch'a conten-o I e la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A/I.
  • dàit un morfism d'anej f:A \to A', n'ideal bilateral I \subseteq A e n'ideal bilateral I' \subseteq A', si f(I) \subseteq I' antlora f a passa al cossient e a génera un morfism  \bar f :A/I \to A'/I' definì da  \bar f (a+I)=f(a)+I'.

Esempi[modìfica | modifiché la sorgiss]

  • Ch'as consìdera la fonsion f: \mathbb Z [X] \to \mathbb Z cha assòssia a minca polinòmi a coeffisient antregh sò tèrmin costant. As trata d'un morfism, dont la nos a l'é l'ansem dij polinòmi ëd tèrmin costant nul e f/kerf \simeq \mathbb Z . Minca lateral ëd kerf a l'é formà dai poliòmi ch'a partagio ël midem tèrmin costant.
  • N'esempi ch'a jë smija a l'é ël morfism f: \mathbb R^{ \mathbb R } \to \mathbb R ch'a assòssia a minca f \in \mathbb R^{ \mathbb R } ël valor f(0). L'ideal I dle fonsion ch'a valo 0 ant l'orìgin a l'é la nos d'ës morfism; dagià che la plancia a l'é  \mathbb R (a basta mach consideré le fonsion costante) i otnoma che ( \mathbb R^{ \mathbb R })/I \simeq \mathbb R .

Arpresentassion ëd n'anel an n'anel d'endomorfism[modìfica | modifiché la sorgiss]

Cosideroma n'anel A. Për minca a \in A ch'as consìdera la fonsion f_a:A \to A definìa an butand  \forall x \in A,f_a(x)=ax, ciamà multiplicassion a snistra për a. As agiss d'un morfism dlë strop abelian (A,+):

f_a(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f_a(x)+f_a(y).

An sa manera i l'oma definì na fonsion f da a l'anel dj'endomorfism ëd lë strop abelian (A,+). Costa-sì a l'é 'n morfism d'anej:

f(a+b)(x)=(a+b)x=ax+bx=f(a)(x)+f(b)(x)=[f(a)+f(b)](x);
f(ab)(x)=abx=f(a)f(b)x.

La nos d'ës morfism a l'é  \{ a \in A \mid \forall x \in A,ax=0_A \} , visadì l'anulator snistr d'A.

Ant ël cas A a l'abia n'unità 1_A, dagià che a1_A=0_A \Leftrightarrow a=0_A, cost morfism a l'é 'n monomorifsm. Donca A a resta isomorf a l'anel dle multiplicassion a snistra. Parèj i l'oma otnù che minca anel con unità a l'é isomorf a n'anel d'endomorfism ëd sò strop abelian aditiv.